✨ ベストアンサー ✨
どこまで分かっているのでしょうか？
計算してみたところ
u₂=(1/3√22)(13,5,-2)
になりましたがあってますかね？これであっているとするとu₃は頑張って計算するしかないと思います
でも、教科書の答えと異なるということは、計算がどこかで間違っているのかな⋯？
あってます！
自分が間違ってるみたいですね…
よろしければ途中式載せてもらうことは可能でしょうか？
||a₁||＝√(1+9+1)＝√11
∴u₁＝a₁/||a₁||＝(1/√11)(-1,3,1)
v₂:=a₂－<a₂,u₁>u₁
＝(4,0,-1)－{(1/√11)(-4+0-1)} (1/√11)(-1,3,1)
＝(4,0,-1)＋(5/11)(-1,3,1)
＝(1/11)(44-5, 0+15, -11+5)
＝(3/11)(13,5,-2)
||v₂||＝(3/11)√(169+25+4)＝(3/11)•3√22
∴u₂＝v₂/||v₂||＝(1/3√22)(13,5,-2)
となります
なるほど！
ありがとうございます！
あの、すみませんまだ聞きたい問題があるのですが聞いてもよろしいでしょうか？
Q&Aで質問していた、三角形の面積と行列式のやつですか？
あの問題は自力でなんとか解けました！
縦ベクトルを使って書くとえらい長くなってしまうので
(1)
(2)
などのかわりにᵗ(1,2)などを多用して書きますね
(2)x=se₁+te₂ のとき、(s,t)を(標準基底に対する)Xの座標と呼びます。ここでは (1,1) ですね
(3)y=f(x)=f(e₁+e₂)
=f(e₁)+f(e₂)
=ᵗ(1,0)+ᵗ(2,-1)
=ᵗ(3,-1)
より、Yの座標は (3,-1) となります
或いは、標準基底に対する座標なので
f(ᵗ(1,1))=ᵗ(1+2,-1)=ᵗ(3,-1)
のように計算してもいいですね
(4)f(a₁), f(a₂)の{a₁,a₂}に対する座標表示を求めます。つまり、
f(a₁)=sa₁+ta₂, f(a₂)=ua₁+va₂
を満たすs,t,u,vを求めます
f(a₁)=f(ᵗ(-1,1))
=ᵗ(-1,1)
=a₁
f(a₂)=f(ᵗ(1,1))
=ᵗ(3,-1)
=2a₁+a₂
なので、f(a₁), f(a₂)の{a₁,a₂}に対する座標はそれぞれ
f(a₁)：(1,0), f(a₂)：(2,1)
であり、
B=(1 2)
(0 1)
となります
(5)x=a₂(=0a₁+1a₂)
なので、座標は(0,1)です
(6)y=f(x)=f(a₂)
なので、座標は(2,1)です
別解としてBを使ってみると、
xの{a₁,a₂}に対する座標表示が(0,1)なので
(1 2)(0)=(2)
(0 1)(1) (1)
よりyの{a₁,a₂}に対する座標表示は(2,1)です
でも今回はあまりうまみがないですね
(7)平面に矢印をかいて確かめればよさそうです。画像のような感じでしょうか
(8)基底変換行列の定義を忘れてしまったのでちょっと自信ないですが、
a₁=-e₁+e₂
a₂= e₁+e₂
なので、係数をとりだして
P=(-1 1)
( 1 1)
だったかと思います
(9)問題文にある「上の関係」というのが何を指すのかいまいち判然としないのですが、問題文より前にそれらしいものがあったりしませんか？
見直したら少し間違えていました
画像の赤丸で囲った部分ですが、
f(a₁)=f(ᵗ(1,-1))
=ᵗ(-1,1)
=-a₁
の間違いです。途中から a₁=ᵗ(-1,1) と勘違いして進めていました
これにより、青で囲った部分がそれぞれ
f(a₁)：(-1,0)
B=(-1 2)
( 0 1)
になります
また、(8)の答えは
P=( 1 1)
(-1 1)
でした
あ、画像間違えました。青で囲った部分がないですがまあ分かると思います
基底変換行列の定義は間違っていなかったみたいでよかったです
(9)はこれを見る限りだと、1枚目中央あたりに書いてある座標の関係式
(x₁')=P⁻¹(x₁)
(x₂') (x₂)
を二点X, Yについて確かめればよさそうです
なるほど！わかりました！！
いつもお願いしてすみません！
ありがとうございました！
いえいえ。また何かあればどうぞ
お返事が遅くなりました
どのような仮定から出発するのか、どんな式が使えるのかによって解き方も変わってくるのですが、解答スペースの狭さから考えると公式でポンと出せばいいということですかね
1. 間隔rで置かれた平行電流I₁,I₂間における、長さℓの部分に働く力の大きさFは
F=μ₀I₁I₂ℓ/(2πr) (μ₀:真空の透磁率)
です。これに値を入れればいいです
μ₀の値は問題文に乗っているか授業で決まっているならそれを書き、そうでなければこのままでよさそうです
電流の向きが反対なのでこの力は斥力になります
2. 直線電流Iから距離rの位置にある点における磁束密度の大きさBは
B=μ₀I/(2πr)
単位はメートルに直します
向きは電流の正の向きに対して反時計回りの向きです
3. 半径rの円電流Iから距離rの位置にある点における磁束密度の大きさBは
B=μ₀I/(2r)
こちらも単位はメートルに直します
向きは磁束密度の正の向きに対して反時計回りの向きです
4. (1)は図のような感じです
(2)と(3)は向きが逆ですね
(4)と(5)はフレミングの法則を使えばいいと思います。(4)が右向き、(5)が下向きですね
すみません返信遅くなりました！
わかりました！ありがとうございます！
問題文はこれだけですか？
うーん。見た感じは高校物理なので説明できそうですが、どれが変数でどれが定数なのかよくわからないですね⋯
これは何か実験をした結果に関する話でしょうか？もしそうなら、既知の変数はどれですか？
また、熱量計が得る熱量の式
(m₁+w)(θ-t₁)
においてm₁, wは何を表していますか？質量？熱容量？もし質量だったらcか何かが抜けてませんか
なるほど。だいたいわかりました。熱量計が得る熱量
(m₁+w)(θ-t₁)
に比熱が出てこなかったのはcalで計算していたからだったんですね
試料を移している間に温度が1°C下がったとしたら、はじめに測定した温度t₂から1°C下げた温度で計算すればよいので、
c=(m₁+w)(θ-t₁)/m₂((t₂-1)-θ)
を計算して元の数値と比較すればよいです
熱湯の温度が書いていないので予想ですが、おそらく試料を温めるのに使った熱湯?と考えて試料と同じ温度だったとすると、水の比熱が1cal/(g•K)であることから
(m₁+w)(θ-t₁)=(m₂c+0.1)(t₂-θ)
これを解いてcを求めましょう
なるほど！わかりました！
いつも頼ってしまいすみません…、わかりやすく教えてくださりありがとうございます！
いえいえ、大丈夫ですよ
ダイオードの印加電圧が0V近辺の時の電流電圧特性がどうなっているかわかりますか？
物理学科ではないのでそこら辺は分からないです⋯
あ、物理学科ではないんですね！
わかりました、ありがとうございます！
10
Aの固有値が-1,0,1の３つでAは3次なので、Aの固有多項式p(X)は
p(X)=X(X-1)(X+1)＝X³-X
です
ハミルトン・ケーリーの定理より
p(A)＝O
∴A³＝A
なので、これをくり返し用いることにより
Aⁿ＝⎰A² (nが偶数のとき)
⎱A (nが奇数のとき)
[B]1
固有値の定義より、
|XE-A|＝(X-λ₁)(X-λ₂) ⋯ (X-λn)
両辺のXⁿ⁻¹の係数を比較することで１つめの等式が、定数項を比較することで２つめの等式が得られます
わかりました、やってみます！
すみません、先にこちらのＡを直行行列によって対角化せよという問題なのですが、p.p^−1.を求めて
pＡp^−1で答え求めたのですが何かあいません…なぜかわかりますかね？
画像に書かれていることは全てあっていますね
対角化するときは、ふつう
P⁻¹AP
を計算しますが、今の場合逆行列が元の行列に一致しているのでそこも問題なさそうです
となると、最後の行列の積の計算で間違えた、とかでしょうか
あ、解決しました！単に計算ミスでした！
あの、すみません汚い字なのですがこちらの画像の（2）でどのような曲線を表すかという問題で画像のようになったのですが
答えは√5X^2−√5Y^2＝6の双曲線となっていました。
どうしたらこの解答になるのかわかりません…
あ、ほんとですね
√5を出した後の計算がどうやってやればいいのかわかりません…
よろしければ途中式教えてもらえないでしょうか？
見た目がゴツくなりますが、λが整数のときと似たような結果になるはずだと信じて計算をするとうまくいきます
λ=√5 のとき
(√5-1 2 )(x)＝(0)
( 2 √5+1)(y) (0)
ここで、基本変形により
(√5-1 2 )(x)＝(0)
( 0 0 )(y) (0)
になることを期待します。そうでないと連立方程式の解が(0,0) のみになってしまうため固有ベクトルが取れなくなってしまいます
係数行列の(2,2)成分を0にするために一行目の (√5-1)/2 倍を二行目から引くと
(√5-1 2 )(x)＝(0)
( 0 0 )(y) (0)
よって
(√5-1)x+2y=0
となるため固有ベクトルは
C( -2 )
(√5-1)
の形であり、大きさ1の固有ベクトルとして
1 ( -2 )
√(10-2√5) (√5-1)
が取れます
同様に、λ=-√5に対する大きさ1の固有ベクトル
1 ( 2 )
√(10+2√5) (√5+1)
か取れるので、あとはこの２つのベクトルx₁, x₂を並べて直交行列
P=(x₁ x₂)
をつくり、
ᵗPAP
を計算すれば対角化できますね。計算のコツとしては
AP=(Ax₁ Ax₂)=(√5x₁ -√5x₂)
になることを利用してAPから計算するといいです
その後の流れは前の解答と同じです
すみません、一つ前の回答は少し間違えてました。画像の部分にマイナスがつきますね
なので、正しい固有ベクトルは
1 ( 2 )
√(10-2√5) (√5-1)
と
1 ( -2 )
√(10+2√5) (√5+1)
の２つでした
計算のコツについて
まず、固有ベクトルを正規化したのはなぜかというと、正規直交基底をとることで対角化させる行列Pが直交行列になるからです。つまり、
P⁻¹＝ᵗP
が成り立っていますから、逆行列は転置させるだけで求まります。そのための実対称行列Aであり、そのための正規直交化なのです
P⁻¹APの計算は上に書いたことを意識しつつやるわけですが、具体的に書くと画像1枚目のような形でしょうか
背景にあるのは画像2枚目に書いたような式変形です。これだと計算ゼロで済みますが、さっきの私みたいに間違いがあった場合に気付けないので少しくらいは手を動かす1枚目の方がいいようにも思います
A7の問題については、基本さっきの問題と同じだと思いますが、どこで詰まっているのでしょうか？標準形は求められましたか？
なるほど、参考にさせてもらいます！
途中までは解けるのですが標準形の求め方がいまいちわかりません…
概要で大丈夫ですかね。分からないところあったら重ねて聞いてください
A=(5 2) とおいて、Aを対角化します
(2 8)
Aの固有値は4,9で、
固有値4に対応する大きさ1の固有ベクトル
̲ ̲1̲ ̲ ̲( 2)
√5 (-1)
固有値9に対応する大きさ1の固有ベクトル
̲ ̲1̲ ̲ ̲(1)
√5 (2)
が取れるので、
P＝ ̲ ̲1̲ ̲ ̲( 2 1)
√5 (-1 2)
とおけば
ᵗPAP＝(4 0) (＝Dとおく)
(0 9)
となります
左からP, 右からᵗPをかけると
A＝PDᵗP
となるので、問題の二次形式は
ᵗxAx
＝ᵗxPDᵗPx
＝ᵗ(ᵗPx)D(ᵗPx)
そこで、 ᵗPx＝(x') とおけば
(y')
ᵗ(ᵗPx)D(ᵗPx)
＝(x' y')(4 0)(x')
(0 9)(y')
＝4(x')²＋9(y')²
と表せます
よって求める二次形式は長軸1/2, 短軸1/3の楕円なので、x²+y²の最大値は1/4, 最小値は1/9となります
あ、ふつうに求めればいいんですね！
標準形とあったのでジョルダンのひかを使うのかと思ってました。
質問なのですがDと置いた時点で答え求めてはいけないのですかね？
ジョルダンの標準形です。
二次形式の標準形というのは確か直交座標(s,t)を用いて
ax²+bxy+cy²＝ks²+ℓt²
と表したときの右辺だったと思います
数学では一つの言葉をいろんな文脈で用いることがちょくちょくあるのでそこら辺は厄介ですね
ちなみに知っていることかもしれませんが対角化可能な場合は得られた対角行列Dがそのままジョルダン標準形になります
Dと置いた時点で答え出していいかは教員次第ですかねえ。後半の方がよくわからないと思っていたので対角化後は割と丁寧めに書いた結果上のようになったって感じです。なので適宜省いてもいいと思います
なるほど！教員次第なのですね！
今度先生に聞いてみます！
B1の解き方がいまいちわかりません…
どうやって比較して求めればいいのですかね？
数列のもんだと同じですかね？
B1というのはトレース、行列式と固有値の関係式の問題ですかね？サラッと書いてしまいましたがn個の単項式の積なのでややこしいとは思います。n=3の場合なんかで具体的にずらずらと書いてみると分かるかもしれません。それでも分からなそうだったら今出先なので夜に書きますね
頑張って解いてみます！
じゃあもう少し待ちますね
なんとか解けました！
ありがとうございます！
よかったです
電磁気の問題とかってわかりますか？
全然解けなくて…
あんまり得意ではないですが、一応問題見せていただけませんか？
1. 強磁性体と反磁性体を知らなかったのでネットで調べて回答していますが、このような感じではないでしょうか。反磁性体はかけられた磁場と逆向きの、強磁性体は同じ向きの磁場が内部に生ずる物質だそうです
2. これはファラデーの法則です
V＝N•|ΔΦ/Δt|
＝5×(5-2)/0.1
＝150 [V]
4. (1)
スイッチを入れると黄色の向きに電流が流れ、緑の向きの磁束が増加するためそれを打ち消そうと赤い向きに磁束が生じます
(2)スイッチを切ると元々あった緑の向きの磁束が減少するため、それを補おうと赤い向きの磁束が生じます
あんまりキツイこと言うのは好きじゃないのですが、ここら辺の問題はかなり易しい部類ではないでしょうか。1は定義そのものに近いように見えますし、2は公式に当てはめる練習みたいな問題に思えます。人によって得意苦手はあると思いますが、もう少し教科書や授業ノートを見返すなどして自力で考えてもいいのかな、と感じました
チャートみたのですがわからなかったです。
ですがかなり簡単な問題なんですね…
今後そういう問題を自分が質問してきたら、解答しなくていいですよ。そういう問題質問するようなことではないですしね。
今回は大変失礼しました、解答してくださりありがとうございます。
はい！こちらこそそれでお願いします！
1. は微分方程式の中では一番基本的な変数分離形というやつです。ayを右辺に持ってきてから両辺をb-ayで割るとよいでしょう
2. 回路の問題ではまず回路方程式をたてましょう。するとtの関数Iについての微分方程式が得られます。これも変数分離形なので同じようにして解けます
3. これは出題者の意図を汲めないと何を答えたらいいかわかりづらいかとしれないですね
とりあえず回路方程式を立ててQについての微分方程式を得ます
一方、なめらかな床の上でばねにおもりをつけて水平方向に振動させたときのようすを考えると、運動方程式から得られる微分方程式が先ほどの回路方程式から得られる微分方程式とよく似ていることがわかります。ばねの振動の振動数を求めるときと同じようにして回路の振動数を求めましょう
なるほど、1番は解けました！
2と3の回路方程式の立て方がわかりません。
どういう風にたてればいいのですかね？
2. キルヒホッフの法則です
反時計回りに電流Iが流れていると仮定すると、
電源…反時計回りに起電力E
コイル…反時計回りに起電力-L(dI/dt)
抵抗…電圧降下RI
が生じるので
E-L(dI/dt)=RI
が得られます
3.コンデンサーの上側に電荷qがたまり, 時計回りに電流Iが流れていたとすると、
コンデンサー…反時計回りに起電力q/C
コイル…時計回りに起電力-L(dI/dt)
が生じるので
q/C+L(dI/dt)=0
L(dI/dt)=-q/C
ここで、I=dq/dtなので
L(d²q/dt²)=-q/C
が得られます
ふと疑問に思ったのですがゲストさんは高校で物理は習わなかったのでしょうか？
なるほど！やってみます！
習ってないです、、
生物を専攻してたので。
わけあって物理学系に入学したって感じです！
ですから今物理勉強しているのですが、まだここの範囲にはいれてなくて、
あとすみません、この前に対称行列を直行行列によって対角化せよという問題を教えてくださったときに、逆行列＝転置が成り立つとおっしゃっていたので試したら、逆行列では答えが求められたのですが、転置では答えが合いませんでした。
なぜですかね？
生物専攻だったのですか。納得です。自力で物理をやるのはけっこう大変ですね
行列の方ですが、対角化をするときは基本
ᵗPAP
を計算します。これは逆行列の場合も同じで本当は
P⁻¹AP
でないと正しく対角化できないです。今回はうまいこと答えが出ていますが…
なるほど、要するに問題によってできる時とできない時があるってことですね！
ありがとうございます！
というよりは、計算が違っているということです。転置の場合でも
ᵗPAP
を計算すればちゃんと対角化できますよ
( 1 -1+2i)(x₁)＝(0)
(-1-2i 5 )(x₂) (0)
は基本変形すると
(1 -1+2i)(x₁)＝(0)
(0 0 )(x₂) (0)
となることが予想されます。
この方程式の解を何でもいいから一つ求めたいわけですが、
x₁+(-1+2i)x₂＝0
の解であれば
(x₁, x₂)＝(1-2i,1)
がパッと思いつくだろうということだと思います
なるほど！簡略化してただけなんですね！
ありがとうございます！
大丈夫ですよ。固有ベクトルは-1倍しても固有ベクトルですからね
なるほど、わかりました！
先程の問題なのですが、
λ＝3のとき
（1 -1+2i)(x₁)＝(0)
(0 0 )(x₂) (0) とありましたが
λ＝-3の時は
（0 0)(x₁)＝(0)
(-1−2i −1)(x₂) (0)という形でいいのでしょうか？
どっちを( 0 0 )にしても解けるはずです
あ、そうなんです！わかりました！
ありがとうございます！！
説明のためある放射性物質をAと呼ぶことにします
問題文から、
(Aの崩壊速度)＝λ×(Aの原子核の数)
が言えます。ここで、
(Aの崩壊速度)＝-dN/dt
(Aの原子核の数)＝N
なので、微分方程式
-dN/dt＝λN
を得ます。あとはこれを解けばよいです
なるほど！ありがとうございます！
うーん。宇宙は詳しくないのでpcやAUなどの単位がわからないですね…
とりあえず少し調べてみます
勉強してきました。遅くなってすみません
どうやらそれで良さそうですね
太陽系と問の惑星系は非常に遠いため、地球と中心星、地球と惑星との距離はともに100pcとみなしてよいみたいです
また、tanθ~θ と近似できるので
θ＝1AU/100pc＝0.01秒
で良さそうです
いえいえ、わざわざお勉強までしてくださり、申し訳ないです。
なるほど！それでよかったんですね！
ありがとうございます！
お役に立てたならなによりです(｀・ω・´)
すみません、この問題はやはり分かりそうです。
こちらの問題なのですがu2の答えが教科書と違くて、u3計算しようとするとすごく高い数値になってしまいます。
なんでですかね？