包絡線について
高校数学では、「関数が分かる」→「接線が分かる」
の順ですが、包絡線は簡単に言えばその逆で、
「直線(接線)の方程式が分かる」
→「関数が一意に定まる」
という着想から始まります。
例えば
y=f(x,t)=2tx-t^2-1
のとき、接線の公式から
y=f'(t)(x-t)+f(t)
となるf(x)を囲むように接線が動いていく筈です。
ここで、包絡線の描く軌跡は
{与式をtで偏微分(他の変数を定数とみて微分)したもの}=0と与式
の連立でもとまることが知られていて(←大学数学の範囲なので、説明は割愛)
∂f(x,t)/∂t=2x-2t=0
y=2tx-t^2-1
∴y=x^2-1
となることがわかります。
これは解答で描くのはダメかもですが、これがもとにある問題が結構あります。出来ると楽しいかも？
ファクシミリの原理
ファクシミリとはFaxのことで、Faxは通常
機械が上下に動く→少し横にずれる→機械が上下に(ry
となっています。これによく似た解法なのでファクシミリの原理です。
このやり方は二変数関数で絶大な効果を発揮します。
(i)一方の変数を固定して、他方の軌跡を考察する
(ii)固定する変数をかえて、軌跡を考察する
(i)はFaxで言うところの、上下に動く所で
(ii)が横にずれる所だと思ってください。
つまり、F(a,b)が0≦a,b≦1の範囲を動くとき
b=0のとき、F(a,b)が動く軌跡
b=0.01のとき、
b=0.02
:
の総和がF(a,b)の通過領域ですから、
aを動かして出来る図形をbを動かしてできる軌跡に則って動かす感じでしょうか。
言葉だけで分からなかったら図描くんでその時は言ってください
今回は軌跡、領域を求めることが目的ですから、とりあえず軌跡を求めるに留めたいと思います。
また、私からも一問出したいと思います。
0≦a≦π,0≦b≦π とする。
x=cos(a)+cos(b)
y=sin(a)+sin(b)
の通る領域をxy平面上に図示し、その面積を求めよ。
(出題:駿台東大実戦模試)
ありがとうございます。
返信が遅くなりすみません...
すみませんが、よく理解できないので、次の問題で説明をしていただけるとありがたいです...
(問題)
座標平面上に点Ａ(0.2)と点Ｂ(1.0)があり、線分AB上の点Pからx軸、y軸に下ろした垂線の足をそれぞれQ.Rとする。点PがＡからＢへ動くとき、線分QRの通過する部分の面積を求めろ。