Question

Raiki

線形代数について質問です。問題文は画像に添付しています。

⒈ (2-1)(2-2)(3-1)(3-3)の正誤判定
⒉ (3-2)の解法
◆この2点をご教授願えれば嬉しいです。

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⑵
(2-1)
A=[𝒂₁ 𝒂₂ 𝒂₃ 𝒂₄]
とおきAを簡約化した行列を
B=[𝒃₁ 𝒃₂ 𝒃₃ 𝒃₄]
と書く。
A𝒙=0 ⇔ B𝒙=0
すなわち
x₁𝒂₁+x₂𝒂₂+x₃𝒂₃+x₄𝒂₄=0
⇕
x₁𝒃₁+x₂𝒃₂+x₃𝒃₃+x₄𝒃₄=0
であるから
𝒂₁, 𝒂₂, 𝒂₃, 𝒂₄
の間の一次関係と
𝒃₁, 𝒃₂, 𝒃₃, 𝒃₄
の間の一次関係は同じである。

A=
𝒂₁ 𝒂₂ 𝒂₃ 𝒂₄
[ 2 1 3 7 ]
[ -1 2 -1 2 ]
[ 1 -1 -2 -3 ]
[ 3 2 4 11 ]
を基本変形して
[ 1 0 0 1 ]
[ 0 1 0 2 ]
[ 0 0 1 1 ]
[ 0 0 0 0 ]
𝒃₁ 𝒃₂ 𝒃₃ 𝒃₄

よって、rank(A)=3であるから
1次独立なベクトルの最大個数はr=3 ◼︎

(2-2)
上で計算した𝒃₁, 𝒃₂, 𝒃₃, 𝒃₄の具体的な形より
𝒃₁, 𝒃₂, 𝒃₃は1次独立で、𝒃₄は
𝒃₄= 𝒃₁+2𝒃₂+𝒃₃ ◼︎

⑶
(3-1)
E+P=E+(E-A)(E+A)⁻¹
(E+A)⁻¹が邪魔なので、右からE+Aを掛けて
(E+P)(E+A)=(E+A)+(E-A)(E+A)⁻¹(E+A)
=(E+A)+(E-A)
=2E
よって、両辺を2で割って
(E+P)•(1/2)(E+A)=E

以上より、E+Pは正則 ◼︎

(3-2)
# PTはPの転置行列を表しています。

PTP
={(E-A)(E+A)⁻¹}{(E-A)(E+A)⁻¹}
=[{(E+A)⁻¹}T(E-A)T]{(E-A)(E+A)⁻¹}
={(E+A)⁻¹}T(E+A)⁻¹(E-A)T(E-A)

➜ここから分かりません。
▢T▢■T■の形にして、Aは交代行列よりAT=-Aなので使えそうなのですが…

(3-3)
P=(E-A)(E+A)⁻¹
=・・・(行列が複雑なため割愛します)
=[ 0 1 ]
[ -1 0 ] ◼︎

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よろしくお願いします。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

以前に回答したことあるなーと思ったら二ヶ月前だったんですね

(2-1)
あっていると思います

(2-2)
問題文に登場しているのはあくまで 𝒂₁, 𝒂₂, 𝒂₃, 𝒂₄ ですから、𝒂₁, 𝒂₂, 𝒂₃, 𝒂₄ の間の一次関係を表さなくてはいけないのではないでしょうか？
2-1 で述べられているように 𝒂₁, 𝒂₂, 𝒂₃, 𝒂₄ の間の一次関係と 𝒃₁, 𝒃₂, 𝒃₃, 𝒃₄ の間の一次関係は同じなので、
𝒃₄ = 𝒃₁+2𝒃₂+𝒃₃
より
𝒂₄ = 𝒂₁+2𝒂₂+𝒂₃
ですね

(3-1)
結局のところ、正則性に関する定理
AB=E ならば Aは正則
というのは既習だったのでしょうか？それだったらこれでOKですね

(3-2)
式変形の中で行列の積を交換しているのは気になります。まあ実際には交換可能ではありますが、この段階で入れ換えてしまうのはどうなんでしょう…私が気付いていないだけで交換可能である根拠があるのでしょうか？
使う事実は
(A+B)ᵗ = Aᵗ+Bᵗ
(A⁻¹)ᵗ = (Aᵗ)⁻¹
の２つですね。Raikiさんが得た式の１つ前の式から始めます
{(E+A)⁻¹}ᵗ•(E-A)ᵗ•(E-A)•(E+A)⁻¹
= {(E+A)ᵗ}⁻¹•(E-A)ᵗ•(E-A)•(E+A)⁻¹
= (Eᵗ+Aᵗ)⁻¹•(Eᵗ-Aᵗ)•(E-A)•(E+A)⁻¹
= (E-A)⁻¹•(E+A)•(E-A)•(E+A)⁻¹
= (E-A)⁻¹•(E-A)•(E+A)•(E+A)⁻¹
(∵ E+A と E-A は交換可能)
= E

(3-3)
あっていると思います。今思えば、
(E+P)(E+A) = 2E
より
E+P = 2(E+A)⁻¹
P = 2(E+A)⁻¹-E
とするとすこし楽だったかもしれません

Raiki

その節はありがとうございました。

今回も詳解くださり、とても感謝です。

(3-2)の式変形はなかなか上手くいかず、手詰まりでしたので、解法が分かりすっきりしました。

それと、正則の定理は既習でした。

(3-3)でP=の式だと確かに簡単でした。ご教示ありがとうございます。

いつも、お忙しいなかご解答くださり、本当にありがとうございます。またいくつか質問あるときは、お答え願えれば幸いです。

gößt

解決してよかったです。私でよければ分かる範囲でお答えしますね