なぜこのような式が成り立つんですか？

数学

高校生

解決済み

7年弱前

mid

なぜこのような式が成り立つんですか？
私は交点で座標を求めましたが、このkを使った公式をつかうほうがいいんですか？

回答

✨ ベストアンサー ✨

hizumi

7年弱前

別に連立して交点を求めて、グラフにその点と(-1,2)をプロットして直線の方程式を求めればいいと思います。

mid 7年弱前

ありがとうございます
なぜこの解き方を勧めるんでしょうか、、？

hizumi 7年弱前

なぜこの解き方を勧めるのか、、、ですか。
うーんとですね、
記述するのがめんどうなので、①、②式としますね。
①+k②=0 …③式として、③をkの方程式と見ると、③は、
②≠0であれば、
k=-①/②
という唯一の解をもつ。
これは、直線②上にない1点Pを与えると、方程式③で表される直線で点Pを通るものが1つ決まることを示している(図示すればよくわかる)。
したがって、kの値を変化させることにより直線③は、2直線①、②の交点Aを通る②以外の任意の直線を表すことができるこということです。

さらに、k,lを(k,l)≠(0,0)なる定数として、
方程式k①+l②=0…④
を作れば、④は、直線①、②の交点を通る任意の直線を表すことができるということです。

hizumi 7年弱前

例えばね、C1がx^2+y^2=1…①、C2がx^2+y^2-3x-2y+2=0…②という2円があるとして、
(1)2円の交点P,Qの座標を求めよ
(2)C1,C2の2交点P,Qを通る直線PQを求めよ
(3) C1,C2の2交点P,Qと点R(1,3)を通る円の方程式を求めよ
っていう問題があれば、
(1)は①-②をして得られた式③からx,yを消去していって求めますね。
(2)は①、②をともに満たすx,yは③を満たし、しかも③はx,yの一次方程式なので直線を表すので、③がそのまま答えとなります。
(3)この(3)で、上記のkの考えを使うことができるという訳です。

mid 7年弱前

なるほど
ありがとうございます！！

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回答

幹人

7年弱前

hizumiさんが答えている通りだと思います。
hizumiさんには学問においては敵いませんから(笑)

mid 7年弱前

ありがとうございます！
凄いですよね笑

hizumi 7年弱前

そんなことないですよ、、、。
せっかくなので、もう少し発展的な説明もしておきましょう。
Theme 2曲線の交点を通る曲線
一般に、2曲線
C1: F(x,y)=0 C2: G(x,y)=0
が与えられているとき、kを定数として方程式
F(x,y)+k G(x,y)=0
の表す図形Cのもつ性質を考える。曲線Cの形は、一般に、kによって変わる。しかしkが何であっても
「曲線Cは2曲線C1,C2の共有点(もし存在すれば)のすべてを通る」という性質がある。
その理由は、
(α,β)がC1,C2の共有点である。
⇔F(α,β)=0 かつ G(α,β)=0
⇔ F(α,β)+k G(α,β)=0
⇔(α,β)は曲線C上の点である。
による。
また、この事実は直線関数でも適用できる。