まず、上から３行目ですが、下の写真に示す通り、マイナスが抜けています。
ある関数Ｙが逆関数を持つための必要十分条件は、Ｙが全射かつ単射であることです。
全射の例として、
Ｙ＝cosＸのとき、Ｙは全射ではありません。
Ｙ＝Ｘのとき、Ｙは全射です。
複雑なことは省いて簡単に言うと、値域(Ｙの領域)が実数全体であれば全射、ということにしておきましょう。
単射の例として、
Ｙ＝ｅ^Ｘのとき、Ｙは単射です。
Ｘが実数全体の範囲でＹ＝Ｘ^2のとき、Ｙは単射ではありませんが、
Ｘ≧0の範囲でＹ＝Ｘ^2のとき、Ｙは単射です。
簡単に言うと、1つのＸに、Ｙは一つしか存在しません。
全射と単射について、わかりましたか？
この問題では、Ｘが(－∞,∞)の範囲のとき、Ｙは単調増加するので、Ｙの領域(値域)は実数全体になります。つまり全射が言えます。
また、同じこと(Ｙが単調増加)から単射も言えますよね？
よって、Ｙが全射かつ単射であることが言えたので、Ｙは逆関数を持つことがいえます。
ありがとうございます！理解できました(⁎ᵕᴗᵕ⁎)