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まず、完全微分形だとわかる形に直します
dy/dx＝(cosx-2xy)/(x²-1)
より
(cosx-2xy)dx+(1-x²)dy=0
となります。よって
P(x,y)=cosx-2xy
Q(x,y)=1-x²
ですね。一応確認しておくと
∂P/∂y=-2x
∂Q/∂x=-2x
となり完全微分形になりますね
私も問題の意図がはっきりとは分かっていないのですが、"それぞれ"とついているところから考えるに式①と式②を別々に解き、式①の解F(x,y)はこうで式②の解F(x,y)はこうだ、と表すところまでやればいいということですかね
というわけで式①を解きます
∂F/∂x=cosx-2xy
において、yを定数とみなしてxで積分すると
F(x,y)=∫(cosx-2xy)dx
=sinx-x²y+f(y)
(ただし、f(y)は任意のyの関数)
となります。yを定数とみなしているため、積分定数に相当する部分がyの関数として出てくることに注意してください
これを式②の方でもやればOKです。こちらはご自分でやってみてください
だいたいあってますが、ちょっとずつ惜しいですね
2(a)
式①と式②に出てくる定数部分は同じf( )とは限らないため、
式① F(x,y)=sinx-x²y+f(y)
式② F(x,y)=y-x²y+g(x)
とするといいと思います
(b)式①と式②をまとめると
F(x,y)=-x²y+sinx+y+C (Cは定数)
ですが、問われているのはF(x,y)ではなく、微分方程式の解です！つまり、xの関数yを求めなければなりません
元の微分方程式をF(x,y)を用いて表すと
(∂F/∂x)dx+(∂F/∂y)dy=0
となります。問題文に書かれているヒントを利用すると、この微分方程式は
F(x,y)=C' (C'は定数)
と解けるので、
-x²y+sinx+y+C=C'
C-C'を改めてCと置き直せば
-x²y+sinx+y+C=0
∴y=(sinx+C)/(x²-1)
まあ後でC'が出てくることを考えると
F(x,y)=-x²y+sinx+y+C
のCは書かなくてもいいかもしれません
(3)虚数単位iが抜けています
z=-1, {1±(√3)i}/2
ですね
理解できてよかったです
いつも詳解くださり、ありがとうございます。
解いてみたのですが、
2. (a)
式① F(x,y)=sinx-(x^2)y+f(y)
式② F(x,y)=y-y(x^2)+f(x)
(b) F(x,y)=-(x^2)y+sinx+y
となりました。
また追加で恐縮ですが、
(3) z=-1, 1±√(3)/2
で良いでしょうか。
お手隙の際にご返信いただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。