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余因子展開をするときのコツは、一つの行ないし列に、できるだけ0をつくることです。0でない成分が多くても2個程度に抑えられるとその後の計算が楽です
とりあえず(5)から
1列目に2,3,4列を足すと
| a+b+c ⋯
| a+b+c ⋯
| a+b+c ⋯
| a+b+c ⋯
となるため、2,3,4行目から1行目を引けば
| a+b+c ⋯
| 0 ⋯
| 0 ⋯
| 0 ⋯
となります。その後1列目で余因子展開すれば3×3になります
(7),(8)も同様です
(7)は1,2,3行目から4行目を引けば第4列が 0,0,0,1 となります
(8)は3,4列目から2列目を引けば第1行が0,1,0,0 になります。余因子展開するときに符合に気をつけてください
3×3になったら基本的には0をたくさん作って定義通りに行列式の計算をすればいいです。もちろん余因子展開できそうならさらにやるのもいいでしょう
(4)はうまく変形できそうな気がしないので、このまま定義通り計算するしかなさそうです。かなり面倒な展開の上に因数分解も大変ですが、他にいい解法が思いつきません⋯
(4)はまあ仕方ないですね。もう解決したみたいですが、(5)と(7)については少し賢い解き方があります
(5)
A=(0 a) B=(b c)
(a 0) (c b)
とおくと、問いの行列式は
|A B|
|B A|
と書けるので
=| A+B B |
| A+B A |
=| A+B B |
| O A-B |
=| b a+c b c |
| a+c b c b |
| 0 0 -b a-c |
| 0 0 a-c -b |
=| a+b+c a+c b c |
| a+b+c b c b |
| 0 0 -b a-c |
| 0 0 a-b-c a-b-c |
(1列目+2列目、4行目+3行目)
=| a+b+c a+c b-c c |
| 0 b-c-a 2(c-b) b-c |
| 0 0 c-a-b a-c |
| 0 0 0 a-b-c |
(2行目-1行目、3列目-4列目)
あとは左の行から余因子展開すればいいです。一般に、三角行列の行列式は対角成分の積になります
(7)
1列目-2列目
2列目-3列目
3列目-4列目
の順で計算していくと、上三角行列になるので(5)同様容易に行列式が得られます
なかなかエレガントな解法ですね。参考になります。
わざわざありがとうございます。
(4)以外はなんとか解くことができました。ありがとうございました。