✨ ベストアンサー ✨
1問目は
x²y
lim —————
(x,y)→(0,0) √(x⁴+y²)
であってますか？
少し技巧的ですが、(x,y)→(0,0) より |y|≦1 としてかまいません。このとき
y² ≧ y⁴
より
√(x⁴+y²) ≧ √(x⁴+y⁴)>0
なので
1/√(x⁴+y²) ≦ 1/√(x⁴+y⁴)
よって、
| x²y/√(x⁴+y²) | ≦ x²|y|/√(x⁴+y⁴)
なので右辺が0に収束することを示せばよいです
ちなみに、「分子が0に収束して分母が√sin²θ になるから〜」という考え方は実は注意が必要です。実際、
x²y
lim ———–
(x,y)→(0,0) x⁴+y²
なる極限を考えると、これは極座標表示により0に収束しそうに見えますが、y=x² に沿って近づけると1/2に収束するため二変数関数としての極限は存在しません
2問目
これも上と同じく、r→0 より |r|≦1 としていいので、三角不等式を用いて
|6rsinθcosθ+4rcos²θ+r²sinθcos²θ|
= r|6sinθcosθ+4cos²θ+rsinθcos²θ|
≦ r(|6sinθcosθ|+|4cos²θ|+|rsinθcos²θ|)
≦ r(6+4+1)
≦ 11r
→ 0 (as r→0)
とすると１つにまとめてできますね
まあ、最初に自分から言っておいてなんですが、ある程度のところまで来たらはさみうちに言及しなくても正解になると思います
元の画像を変更してアップロードしています。
あと、1問目の分子はxyでした。すみません。
2問目はそれであってますね。変に|r|≦1とかする必要なかったです
1問目はちょっと問題ありです
(0≦) √(r²cos⁴θ+sin²θ) ≦ √(r²+1)
なので
1/√(r²cos⁴θ+sin²θ) ≧ 1/√(r²+1)
と不等号がひっくり返ってしまいます
え！1問目の分子xyなんですか？だとするとこれは収束しないような⋯
0 ≦ の部分を変えようとと思ったのですが、うまい方法が思いつきませんでした。はさみうちで解くのは厳しいですか。
すみません。x^2yであってます。
確認ミスでした。
私も少し考えましたが、|r|≦1 として
√(r²cos⁴θ+sin²θ)
≧ √(r²cos⁴θ+r²sin²θ)
= r √(cos⁴θ+sin²θ)
= r √(cos⁴θ-cos²θ+1)
= r √{(cos²θ-1/2)²+3/4}
≧ √(3/4)•r
と評価する方法がありますね。かなり大変な問題になってしまいましたが。もっといい方法あるのかな？
あと、これを書いてて気付いたのですが最初に私が書いた方法で示す場合
√(cos⁴θ+sin⁴θ)
を下から正定数で抑える必要が出てきますね。まあやりようはありますが、初めから極座標変換する方が楽かもしれません
分かりました。わざわざありがとうございました。大変参考になりました。
回答ありがとうございます。
最初の問題はそのような解き方でも解くことができるんですね。勉強になりました。
あと、自分なり一応はさみうちでの解答を作ってみました。よければ添削お願いします。