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(1)連立1次方程式が非自明な解をもつための条件は、左側の係数行列
[ 2a 1 a ]
[ 5 a a ]
[ 12 1 a ]
の行列式が0になることです。行列式を習っていなかったらまた聞いてください
(2-1)
与えられた４つのベクトルを横に並べた4×4行列
[ 2 1 3 7 ]
[ -1 2 -1 2 ]
[ 1 -1 -2 -3 ]
[ 3 2 4 11 ]
を基本変形して階段行列にしたときの一次独立な行ベクトルの数がrです。のちのことを考えると列基本変形のみで進めた方がよいと思います
(2-2)
まずは4個のベクトルからr個の一次独立なベクトル v_1, …, v_r をとってきます。今回の場合はおそらくどのようにr個を選んできても一次独立になりそうです。あとは、残りのベクトル w に対して
w=av_1+bv_2+…
とおいて a, b, … の連立方程式を解けばOKです
(3-1)
こういう問題は色んな行列をかけてみてうまく逆行列を探し出してくればいいです
E+P=E+(E-A)(E+A)⁻¹
ですね。とりあえず (E+A)⁻¹ が邪魔なので、右から E+A を掛けてみます
(E+P)(E+A)=(E+A)+(E-A)(E+A)⁻¹(E+A)
=(E+A)+(E-A)
=2E
よって、
(E+P)•(1/2)(E+A)=E
なので E+P は正則となります
(3-2)
これは転置行列の性質をガンガン使って計算すればいいです
ᵗPP=ᵗ{(E-A)(E+A)⁻¹}{(E-A)(E+A)⁻¹}
を計算してEになることを確かめてください
(3-3)
これも地道に計算ですね。(E+A)⁻¹ を求めて、左から E-A を掛ければ終了です
2点質問いたします。
①
(2-2)ですが、
(2-1)で階段行列を計算したのですが、
[ 1 0 0 0 ]
[ 0 1 0 0 ]
[ 0 0 1 0 ]
[ 0 0 0 1 ]
となり、一次独立な行ベクトルは4つだと思うのですが、それだと一次独立でないベクトルが分からなくなってしまいました。御指南頂ければ幸いです。
②
また、(3-1)で、
(E+P)(E+A)=2E までは理解したのですが、
『よって、(E+P)•(1/2)(E+A) = E なので
E+Pは正則となる』が分かりません。
正則条件 AB=BA=E を使っているのでしょうか。
ご解答の程、よろしくお願いします。
①
(2-1)は私の計算ですとr=3になりました。ここら辺は計算ミスしやすいところなのでもう一度解き直してみてください。それでもうまくいかなかったら私の解答をのせます
②
ここは少し手抜きをして、
「AB=EならばAは正則」
という性質を使っていました。定義通りに正則条件
「AB=BA=EならばAは正則」
を用いるならば、
(E+P)(E+A)=2E より、両辺を2で割って
(E+P)•(1/2)(E+A)=E
さらに、両辺に左から E+A, 右から (E+A)⁻¹ をかけると
(E+A)(E+P)•(1/2)(E+A)(E+A)⁻¹=(E+A)(E+A)⁻¹
∴(1/2)(E+A)•(E+P)=E
以上より、E+P は正則
よかったです
詳細にご解答くださり、ありがとうございます。再度チャレンジしてみます。