Question

さやちゃん

この問題の解説をお願いします

Answer 1

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gößt

(1)具体的に場合の数を求める

取り出し方は全部で4^n通り
そのうち a[1]≧a[2]≧⋯≧a[n] となるような場合の数は4種類のカードから重複を許してn枚取り出すような取り出し方の総数に等しいので、4Hn通り
求める確率は
(4Hn)/4^n
={(3+n)C3}/4^n
=(n+3)(n+2)(n+1)/6•4^n

(2)多分地道にやるしかない

取り出したカードの種類数に注目して
1種類⋯4通り
2種類⋯4C2×(2^n-2) 通り
3種類⋯4C3×(3^n-3C2×(2^n-2)-3) 通り
だから、1から4まで全て揃う場合の数は
4^n-4C3×(3^n-3C2×(2^n-2)-3)-4C2×(2^n-2) -4
=4^n-4•3^n+6•2^n-4
求める確率は
(4^n-4•3^n+6•2^n-4)/4^n

(3)これは確率漸化式

求める確率をP[n]として、P[n+1]を考える
a[1], a[2], ⋯, a[n+1]の中に1が奇数個含まれているという事象は
・a[1], a[2], ⋯, a[n]の中に1が奇数個あり、a[n+1]≠1
・a[1], a[2], ⋯, a[n]の中に1が偶数個あり、a[n+1]=1
この２つは排反だから
P[n+1]=P[n]×(3/4)+(1-P[n])×(1/4)
=(1/2)P[n]+(1/4)
初項P[0]=0として漸化式を解くと
P[n]=(1/2){1-(1/2)^n}

さやちゃん

解説がなくて困っていたので、とても助かりました。ありがとうございます。