Question

りんご

解答の上から四行目のx'と置いているところが何を表しているのかが分からないです。

V, a
楕円の極線
Cを曲線2x2+y2 = 1, 1 を直線y=ax+2a とする.ただ
7 は正の定数である。
(1) Cとlとが異なる2点で交わるためのαの範囲を求めよ.
(3) (1)における交点をP, Qとし,点PにおけるCの接線と点Q
(2) C上の点(Xo, yo) における接線の方程式を求めよ.
おけるCの接線との交点をR(X, Y) とする.a が(1)の範囲を動く
とき,X,Y の関係式と Y の範囲を求めよ。
[広島大〕

(1)
連立方程式
(ax)2+y2=1,y=ax +2a
それは x' = ax とおくと
異なる2組の実数解 (x, y) をもつようなa (> 0) の範囲が求めるもので
ある。
(x))2 + y2 = 1
y = x' + 2a
:.x′-y+2a= 0
が異なる2組の実数解 (x', y) をもつ条件である。 つまり x′y 平面で円 ②が
により
③と2点で交わる条件を求めればよいので
②中心 (0) と直線③の距離) < (②の半径)
|2a|
√12 + (−1)2
u> 0 だから求める条件は
<1 .. |a|<
(2)は同じ)
0 < a <
√√√2
P(xp, yp), Q(x,y) とおくと, 接線
PR, QR の方程式は
xpx+ypy=1,2xqx+yay=1
である. これらがR(X, Y) を通ること
Ja2xpX + ypY=1
a2xqX + yqY = 1
|a2Xxp+Yyp=1
C
a2Xxq + Yyq=1
この2式は2点PQ が直線
a2Xx + Yy=1
す1の式を
x+
上にあることを示している。つまり1:y=ax +2a と ④は同じ直線を表
2
a² X =
[以下同様]
==
1
2a
1
2
Y =
2a
: x = -
y=1と変形して④と係数比較を行うと
1
2a
Y
=
2a2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

GDO

楕円の式を円の式に変換するために、x'=axに置き換えています。
「楕円の式を円の式に変換」し、「点(円の中心)と直線との距離の公式」を使ってみた解答例です。
円の式に変換しなくても解けるのですが、「変換」、「距離の公式」を使い、図形として解く方法の紹介になっています。
（便利な時もありそうです）

よくある解法としては、
楕円と直線の連立方程式で、xまたはyを消去すると、2次方程式となり、解を2つもつ（判別式>0になる）ようにaの範囲を求めることが多いと思います。
簡単な例：「4x²+y²=1、y=6x+aが2点で交わるaの範囲は？」も同様に解けます。

GDO

(2)の解説の記載がありませんが、円の式を用いて解く方法ではありませんか？
（(2)は微分して接線の傾きを求めた方が計算ミスが少ないと思います...私の場合）

りんご

なるほど、納得しました！（2）は楕円の接線公式を使っている方で書いてありました！

Answer 2

ものぐさ

特に意味は無く、X=ax,Y=yとおいてXY平面で図形的に考えると〜っていう流れを
普段とは違う文字でx'=axって置いただけで微分とか関係ないです。

りんご

理解しました！解答ありがとうございました！！