Question

高校生

なぜ。1+37/16で答えがでるのですか？ハヒフヘのところです、よろしくお願いします。

数学Ⅰ 数学A
第4問 (配点 20)
太郎さんは,以下のゲームに参加することにした。
ゲームルール 1
ボード上に横一列に5つのマス枠がある。 マスの中には左から順に「スター
ト」「1」「2」「3」 「ゴール」と書かれており,コマはこの順に左から右に進む。
スタ
タート
1
2
3
ゴール
参加者はまず,自分のコマを「スタート」のマスに置き, さいころを振り
その出目の分コマを右に進める。 ちょうど「ゴール」のマスに停止したとき,
その参加者はあがりとし,それ以上さいころを振らないものとする。
m
「ゴール」のマスにたどり着いたときに進むマスの数が残っている場合, 左
に折り返して移動する。 例えば,「3」のマスで3の目を出したとき, コマは
「3」→「ゴール」→「3」 → 「2」 と進む。 その次に1の目が出ると 「2」 → 「3」
と進む。
得点システム1
2
ろの回数を得点とし,/2回振ってもあがることができなければ,得点を3点と
する。 全参加者の中で得点が最も低い者全員に景品を渡す。
参加者は2回までさいころを振ることができる。 あがりまでに振ったさいこ
23
参加者は、2種類のさいころ「さいころ」と「さいころB」のうち,片方を使
用できる。 これらは面に1~4の数字が書かれた四面体のさいころであり, さいこ
m
ろA」は全ての目が同じ確率で出る。一方、「さいころB」は4の目のみ 1/2の確率
で出るようになっており,残りは全ての確率で出る。 なお, ゲームの途中でさい
ころを変えることはできないものとする。

数学Ⅰ 数学A
(2) 太郎さんは, ボード上のマスをより増やした場合, 期待値がどのように変化す
るのかを考えた。
ゲームルール1の代わりに次のゲームルール2を, 得点システム1の代わりに
次の得点システム2をおく。
ゲームルール2
ト」 「1」「2」「3」「4」「ゴール」 と書かれており, コマはこの順に左から右に
ボード上に横一列に6つのマス枠があり,マスの中には左から順に 「スター
進む。
スタート
1
ゴール
2
3
4
その他のルールは, ゲームルール1と同じものとする。
得点システム 2
参加者は3回までさいころを振ることができる。あがりまでに振ったさいこ
ろの回数を得点とし,3回振ってもあがることができなければ,得点を4点と
する。全参加者の中で得点が最も低い者全員に景品を渡す。
A&
(数学Ⅰ 数学A 第4問は次ページに続く。)

X
ヌネ
L
と表されることが分かる。
(注) さいころを使用する場合を考える。 1回目にあがりとなることはないが,
さいころAの出目の確率はすべて等しいため、1回目にどのマスにとまっても
2回目以降のあがりとなる確率は(1)(i)のさいころAを使用した場合と同じであ
23
を使用したこ
(2)(i) 1回目にさいころBを振り、2以上の目
を出す確率はであり,その場合コマは「2」,
「3」, 「4」 のいずれかのマスにある。 (6)
次であがるには,マスに書かれた数と出目の合
計が5となるような目を出せばよいが,これに4
の目は該当しない。 そのためコマがどのマスにあ
ってもあがりとなる確率は1/3で等しく, 得点が
2点となる確率は
である.
(さいころAを使用したとき, さいころAの出
目の確率はすべて等しく, 1回目の出目にかかわ
らずどのマスにとまっても2回目、3回目にあが
りとなることができる出目が1通り存在するため、
2回目以降のあがりとなる確率は (1) i) のさいころ
Aを使用した場合と同じである。 すなわち, 1回
さいころを振った結果, ゲームルール1の「スタ
ート」のマスにコマが置かれている状況に等しい。
ゆえに、このゲームでさいころAを使用したとき
の得点の期待値は
37_53
ハヒ
る。ゆえに, さいころAを投げたときの期待値は
であるから, 得点
の期待値が低いのは ホ を使用したときである。
5.1
(0)
66
(数学Ⅰ, 数学A第4問は次ページに続く。)
振ってもあがりとならない(確率0.0)と
である。 1回目に2以上の目が出て,かつ, 2回
とき,
1+
16 16
である.
コマは「2」「3」, 「4」 のいずれかのマスにある。
よって、 上記のことから, このゲームでさいころ
Bを使用し, 1回目に2以上の目を出したという
条件の下での得点の期待値は
2.
+3.
51 551 555
66 666 666
51213.5.1
+4--
55
185
=3+ 135
432
18453
=3+ -=3+ >
432 16
であるから, 得点の期待値が低いのはさいころA
を使用したときである. (0)
53
5
=3+-
16
16
23
54
54
である
期待値
変量Xが確
確率で
E=x
で定まる値

Answer 1

かなやん

高校生様

この問題の解説に出てくる式に疑問を持たれたと受け取りました。ハヒフヘの解答が1+37/16で求まる理由について記します。

まず、(1)のサイコロAの期待値は次の式で求まります。
1×1/4 + 2×3/4×1/4 + 3×3/4×3/4 = 37/16

次に、(2)のサイコロAの期待値を求める式です。
1×0 + 2×1/4 + 3×3/4×1/4 + 4×3/4×3/4 = 53/16

２つの式を比較したら気づくでしょうか。
(2)(ⅱ)の問題文にも書かれている通り、「１回目にどのマスに止まっても２回目以降にあがりとなる確率は(1)(ⅰ)のさいころAを投げた場合と同じである。」

文章を付け加えると
→確率は同じだが、そのときの得点は1点ずつ追加されるので、期待値も１点増加する
ということである。

性質としては、添付の写真が説明となります。