Question

雪菜

この問題がわからなくて、教えてください。

3 2次関数 f(x) =ax²-3ax+a2-3がある。 ただし, αは0でない定数とする。
(1) y=f(x) のグラフの頂点の座標を求めよ。
(2)3≦x≦4 における f(x) の最小値が2となるようなαの値を求めよ。
(3) α > 0 とし, pをp<3 を満たす定数とする。 p≦x≦3 における f(x) の最大値を M,
最小値を とするとき,M-m=24 となるようなかの値を求めよ。
(配点 20)

二次関数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

えだか

(1)f(x)=a(x－3/2)²+a²－9a/4－3
頂点は(3/2,a²－9a/4－3)

(2)【a＞0のときとa＜0のときでグラフの形が変わることに注意する】
(i)a＞0のとき、f(x)が最小値となるのはx=3のとき
f(3)=2から
3²a－3×3a+a²－3=2
a²－3=2
a²=5　a＞0よりa=√5
(ii)a＜0のとき、f(x)が最小値となるのはx=4のとき
f(4)=2から
4²a－4×3a+a²－3=2
a²+4a－5=0
(a+5)(a－1)=0　a＜0よりa=－5
(i)(ii)より、a=－5,√5

(3)【与えられたxの範囲において、f(x)が最大値となるxは p＜0 と 0≦p＜3 で切り替わり、f(x)が最小値となるxは p＜3/2 と 3/2≦p＜3 で切り替わる】
(i)p＜0のとき
M=f(p)、m=f(3/2)より
M-m=2a
(ap²－3ap+a²－3)－(a²－9a/4－3)=2a
4ap²－12ap+a=0
a(4p²－12p+1)=0
p＜0となるので、解なし
(ii)0≦p＜3/2のとき
M=f(3)、m=f(3/2)より
M－m=2a
(a²－3)－(a²－9a/4－3)=2a
a=0 これはa＞0に反する
(iii)3/2≦p＜3のとき
M=f(3)、m=f(p)より
M－m=2a
(a²－3)－(ap²－3ap+a²－3)=2a
ap²－3ap+2a=0
a(p－1)(p－2)=0
3/2≦p＜3より、p=2
(i)〜(iii)からp=2

雪菜

ありがとうございます！