Question

みみ

APベクトルが初めと同じ状態になったというのはどういうことですか？教えて頂きたいです。よろしくお願いいたします。

[IV]
複素数平面上に原点を中心とする半径1の円 C と, 中心AがCの外側の正の実軸上にある別の円 C' があり,実軸上
[]
の1点で外接している。 P, Q を C' の円周上の点として, 初めQはCとの接点の位置に, Pは C' と実軸とのもう一
方の交点の位置にあるとする。 いま C' が, Cと接しながら滑らずに, A が初めて虚軸に達するまで反時計回りに回転
する。この間、点Pは1度だけCの円周と接して最後にAP が初めと同じベクトルとなった。 このとき、次の各問いに
答えよ。
問1円 C' の半径をとする。 Aが虚軸に達するまでにC' がCの円周と接する部分の弧の長さをを用いて表せ。 答
えのみでよい。
問2の値を求めよ。 答えのみでよい。
問3 PCの円周に接するときのPを表す複素数の偏角を求めよ。 答えのみでよい。
問4 初めの位置からのAPの回転角を、 A を表す複素数の偏角を0とする。
(1)との関係を求めよ。 答えのみでよい。
(2) 点Pを表す複素数の極形式は次のようになる。 ア
ク
に適する1以上の整数を求めよ。 答えのみ
でよい。
ア
+
イ
COS ウ [0
-(cos 0' + isin 0'),
H
オ icos + cos
キ sin + sin ク 6
ただし, cos'=
sin0'=_
ア +
イ
COS ウ 0
ア +
イ
@COS ウ 0
問5Pが,最初の位置から、 初めてCの円周に接するまでに描く軌跡と, Cの円周、および実軸で囲まれる領域の面
積を求めよ。

[IV]
π
y↑
問1 C′と接するCの弧の長さは1.2=12
a
3
Q
3
点 Qは円 C′の周りを - 回転しているから弧の長さは 2
1
P
ZA
a
1
3
問2
ゆえに
=
問3 PCに接するときの接点をP とし,その偏角を とする。
C'はだけ回転しているので, C と C' が接した部分の弧の長さを比べて
π
よって=17
3
0
問4 (1) C' の回転角をα とすると p-0=α
一方 0=
a
よって
α=30
ゆえに Φ =0+α=0+30=40
4
4
= 3
=
=(1/3cosp/sing)=(1/cos40, 1/3
2) OA-(cose. sin). AP-(cos, sin)-(cos40. sin 40)
OPON+AP= (fcoso+1/cos40.24/sinsin40)
3
3
16cos2 0 +8cos cos 40 + cos240 16sin 20 + 8sin sin 40 + sin 240
.+
|0|2
=
9
よって |OP|=
√17+ 8cos30
=
9
3
Pを表す複素数を絶対値を 偏角を 6' とすると
√17+8cos3000
r=
3
4cos +cos40
4sin0 + sin40
ただし, cos'=
sin0'=
17+8cos 30
17+ 8cos30
このような, 'に対して, pの極形式は p=r(cos('+isin O')
0
2
1
A
Jo
A
17+8cos30
9

Answer 1

ゆら🦢

APベクトルの向きと大きさが初めと同じになった、ということです。つまり、大きさが1(これは常に成り立つ)、向きはx軸に平行で正方向になったってことです！

みみ

3/2π回転したところで同じになったのは何故ですか...？

ゆら🦢

途中経過を図で書くと分かりやすいと思います！ちょっと図の寸法間違えたので不正確ですが、ちょうどPが円と接したらπ、最後はPとQの間の点が接点になるのでそこからさらにπ/2進めて3π/2です。ここは計算というより図を書いて確認って感じですかね〜…