Question

𝐘𝐮𝐤𝐢𝐧𝐚

(2)の問題で、解説の右側にある①の場合分けをした場合の証明のやり方を教えて欲しいです。

する。
である。
のうち、少な
259 次の命題を証明せよ。
□ (1) 整数 m, nについて, 和 m+n が奇数ならば、この2つの整数は奇数と
偶数である。
□2) 整数 m, nについて,積mnが3の倍数ならば,m, nのうち少なくとも
1つは3の倍数である。
260* √√5 が無理数であることを用いて,次の命題を証明せよ。
3√5-4 は無理数である。十
261.x, yは実数とするとき,次の命題を証明せよ。
→例題 29
◆教 p.113 例題 2
x+y>2 ならば, x, yのうち少なくとも一方は1より大きい。
教p.113 例題 2
262 √6 は無理数であることを証明せよ。 ただし, 自然数αについて 6の
倍数ならば, αは6の倍数であることを用いてもよい。
・教 p.114 応用例題3

たはy<1」
かつ
21 の各辺
から,辺々
y≥1
そのまま
を証明する
○, 対偶
259. (1) この命題の対偶 「整数m, nについて 2つの整数がと
もに偶数またはともに奇数ならば,和 m+n は偶数である」 を
証明すればよい。
(i) m, nがともに偶数のとき
m=2k, n=2ℓ (k, l は整数) と表すことができ,
m+n=2k+2l=2(k+l) となり, k + l は整数であるから,
和m+nは偶数となる。一人
(i) m, nがともに奇数のとき
m=2k+1,n=2l+1(k, l は整数) と表すことができ,
m+n=(2k+1)+(2ℓ+1)=2(k+ℓ+1) となり, +l+1は整
数であるから, 和 m+n は偶数となる。
したがって, (i), (i)より,いずれの場合も和 m+ n は偶数である。
よって, 対偶が証明されたから,もとの命題も成り立つ。
(2)この命題の対偶 「整数 m, nについて,m, nがともに3の倍数
でないならば,積mnは3の倍数でない」 を証明すればよい。
m, nがともに3の倍数でないとき, ある整数 k l を用いて,
m=3k±1, n=3l±1 と表される。
(i)m=3k±1, n=3l+1 (k, l は整数) のとき,
mn=(3k±1)(3ℓ+1)=9kl+3k ±3l ±1
=3(3kl+k±ℓ) ±1 (複号同順)
となり,3kl+k±l は整数であるから,mnは3の倍数でな
い。
(ii)m=3k±1, n=3ℓ-1 (k, l は整数) のとき,
mn=(3k±1)(3ℓ-1)=9kl-3k±3l +1
=3(3kl-k±l) T1 (複号同順)
となり, 3kl-k±l は整数であるから, mnは3の倍数でな
い。
1m=3k+1,3k+2
したがって, (i), (i)より,いずれの場合もmnは3の倍数でない。
よって, 対偶が証明されたから,もとの命題も成り立つ。
n=3l+1,3l+2
cas
と場合分けをしてもよい。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

4つに分けることになります