Question

りり

(1)と(2)の問題の違いについて。(2)で何故a=1,b=c=0を代入するのですか。

「任意の〜で成立するような〜の条件を求めよ」という問題は、適当な数(例えばa=b=1)を代入して必要条件を考え、十分性を確認すれば良いと思っていたので、(2)でa=b=c=1を代入して考えたらバツでした。

以下の問いに答えよ。
(1) すべての実数a, b に対して
k(lal + 161) ≦ √a2+62
をみたす最大のkを求めよ。

すべての実数a, b, c に対して
k(|a| + |6| + |c|) ≧ √2+62+c2
をみたす最小のkを求めよ。

【解答】
(1) k (a+b) ≤ √√a² + b²
…①
①がすべてのa, b∈Rに対して成立するためには,
a=b=1を代入して
1
2k ≤ √2 = k ≤ /
1
が必要。 したがって,k=
のときに①がすべての
√2
店で
a,bERに対して成立すれば,kの最大値は 1/12
ある。
コーシー・シュワルツの不等式より,
(1.|a| + 1.|b|) ≦ (12 +12) (|a|2 + |6|2)
1/12 (al + 161) ≦ va2 +62
以上より,kの最大値は 11/12
(2)
k (|a| + |6| + |c|) ≧√2+62+c2
①がすべての a, b,c∈に対して成立するためには、
a=1,b=c=0を代入して
k≧1
が必要。 したがって, k=1のときに①がすべての
a,b,cERに対して成立すれば,kの最小値は1である
(|al + 16| + |c|)2 - (va² +12 + c)2
= 2(|abl + |bc| + |cal) ≧ 0
であり,|a| + |6| + |c|≧0,√2+2+c2≧0より,
a+b+ca² + b² + c²
以上より, kの最小値は1
・・(答)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

らい

√3/3で証明できなかったのであれば、必要条件をきつくする必要があります(1,1,1)で考えたのであればより広い範囲の(1,1,0)(1,0,0)が次の候補です

りり

これではダメでしょうか
また次の候補が何故それだとわかるのですか。
「より広い」とはどういう意味なのでしょうか。

らい

示したい大小関係が逆になっています。

広いというのはk≧√3/3より範囲が広くなる(k≧1やk≧0などの)ことです。このあたりは色々代入して探していきます。

らい

(1,1,0)は広くなりませんでした。