Question

にんじん

α＞1かつβ＞1であるための必要条件で、(α-1)+(β-1)＞0かつ(α-1)(β-1)＞0となっていますが、なぜαやβから1を引くのですか？また、なぜこのような必要条件になるのか教えてください🙏

例題 11 2次方程式 x2+2mx+6-m=0が,1より大きい異なる2つの解を
もつように, 定数の値の範囲を定めよ。
2つの解をα,β とすると, α,βと1との大小について
指針
解答
α>1 かつ ß>1 ⇔ (α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1)(β-1)>0
2次方程式 x2+2mx+6-m=0 の判別式をD, 2つの解をα,βとする。
この2次方程式が異なる2つの実数解をもつための必要十分条件は
D>0
02 ここで
1/21=m²-(6-m)=(m+3)(m-2)
よって
(m+3)(m-2)>0
ゆえに
m<-3, 2<m......①
また, α>1 かつ β>1であるための必要十分条件は
(a-1)+(B-1)>0 かつ (α-1)(B-1)>0
eor
すなわち α+β-2>0 かつ aβ-(a+β) +1 > 0
ここで,解と係数の関係により, α+β=-2m, aβ=6-m であるから
-2-2>0 かつ 6-m-(-2m)+1>0
103
よって
<-1 かつm>-7
すなわち<m<-1
②
①と②の共通範囲を求めて -7<m<-3 答
US OLL

二次方程式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

必要条件というだけでなく、
書いてあるように、必要十分条件です

以下、A,Bは実数とします

まず、有名な同値関係
　A>0かつB>0
　⇔ A+B>0かつAB>0
があります
これはちょくちょく使うので押さえてください
右辺0がポイントです

A>0かつB>0 ⇒ A+B>0かつAB>0
は明らかに成り立ちます

A+B>0かつAB>0 ⇒ A>0かつB>0
は、AB>0からAとBは同符号で、
さらにA+B>0からAもBも正といえます

これを踏まえて
　α>1かつβ>1 ⇔ α-1>0かつβ-1>0
といいかえると、Aがα-1、Bがβ-1にあたるので、
さらに
　⇔ (α-1)+(β-1)>0かつ(α-1)(β-1)>0
と言い換えられます