✨ ベストアンサー ✨
要は、上下面と側面が合同かどうかの違いです
36(1)の説明になぞらえます
36(1)は①も②も同じなので
①に統一（=固定）して考えれば済みます
赤は必ずどこかしらの面に塗られるので、
その面を上面にして考えるということです
一方、2枚目の(1)は
①上面の正五角形に赤
②側面の長方形に赤
は同じではないので別々に数えなくてはなりません
数学
高校生
解決済み
(1)のアイウはなぜ 36の(1)と同じように一面固定せずに7C2をするのでしょうか？
144
36 色塗り (2)
立方体の各面に隣り合った面の色は異なるように色を塗りたい.ただ
立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす. このとき,次の間
いに答えよ.
(1) 異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りあるか
(3) 異なる4色をすべて使って塗る方法は何通りあるか
(2)異なる5色をすべて使って塗る方法は何通りあるか.
(琉球大)
回転して重なるものは同じ塗り方になり
精講
ますから,ポイントは,色を塗る場所を
固定するということです. なぜなら,塗る場所を固定
色を塗る場所を固定すると,
動きが制限される.
すると
「動きが制限される!」
からです.
例えば(1)で, 6色のうちに赤が含まれるとして 1
つの面に赤を塗ってみます。
①
②
①も②も回転すると重なりますから,どの面に赤を
塗ろうが本質的に①と同じですね. だから,まず赤は赤は上面に塗ったと思ってよ
上面に塗ったと思ってよいわけです. よって, 上面に
赤を固定すれば,赤の位置を変えない動きは
い
上面が赤であるような動きは
許される.
第3章 場合の数 実戦編 145
は2面塗らないといけません.さらに,同じ色が隣り
合ってはいけないので,1つの対面に同じ色を塗る必
要があります。 そこで, 上面と下面に同じ色を塗り固
(2)では, 5色で塗り分ける方法なので,どれか1色
定すると
(1)と同様に側面の回転についてはオッケーですね .
ところが今回は、面と下面が同じ色なので上面と
下面の入れかえも許されることに注意すると、側面は
4色のじゅず順列になります。
よって, 2面塗る色の決め方が5通り側面はじゅ
(4-1)!
ず順列で5×
2
通りとなります。
(1) 上面の色を固定すると、底面
の塗り方は5通りあり、側面は
4色の円順列となるから
5×(4-1)!=30通り
◆上面と下面を入れかえても色
の位置は変わらない
第3章
解答
赤を固定
側面は
◆赤を上面に固定すると側面は
円順列!
5通り
円順列
(4-1)!
通り
◆上面と下面に同じ色を塗ると.
側面はじゅず順列!
(2)5色で塗る場合, 対面が同じ
色となるものが1組できる. し
たがって,上面と下面を同じ色
に塗ると,その色の決め方が5
通り、側面は4色のじゅず順列
となるから
上面と下面の色を
固定(5C1通り)
回転のみ許される
ということになります. したがって, 下面の塗り方が
5通り, 側面が4色の円順列になりますので,
(4-1)! 通りとなり, 6色で塗る方法は
5×(4-1)!=30通りとなります.
側面はじゅず順列
5X
(4-1)!
2
(4-1)!
-=15通り
一通り
2
(3) 4色で塗る場合, 対面が同じ
2面塗る色を2つ
◆下面に塗る色を決め、側面を
塗る.
色となるものが2組できる. し
したがって、その色の決め方が
42通り,さらにこの塗り方に
対して残りの2色の塗り方は1
通りしかないからC2×1=6通り
決めると,塗り方
は1通り
対面が2組同じ色だと, 残り
の面をどう塗ろうが同じ塗り
かたになる. (残りの面が
対になるように回転すると
なる.
①
な角柱を正角柱と呼ぶことにする。正n角柱の底面と側面を合わせた合計 n+2個
以上のとする。 底面が正n角形で、側面が底面に対して準であるよう
ただし、正n角柱に対する次の2つの操作のうち、少なくとも一方の操作で一致する
の面について、辺を共有する面には同じ色を塗らないようにして何色かで塗り分ける。
塗り方は同じ塗り方とみなす。
・底面に対して水平に回転させる
・底面を上下ひっくり返す
(1)正5角柱について考える。
異なる7色をすべて使って塗る方法はアイウ通りである。
異なる6色をすべて使って塗る方法はエオカ通りである。
異なる5色をすべて使って塗る方法はキクケ通りである。
(2)正7角柱を異なる7色をすべて使って塗る。
このとき同じ色がちょうど3つの面に塗られる場合はコサシス 通りである。
(3)n≧6とする。正n 角柱を異なる n種類の色をすべて使って塗るとき同じ色が
3つの面に塗られる場合の数を S(n) とする。このとき
S(n+1)=16S(n)
を満たすn の値は.
n=
タ
016
である。
1
数学
つる
(1) アイウ.504 エオカ 432 キクケ 120
1
解答
(2) コサシス. 2520
(3) セ.7 ソタ. 11
て、
解説
なか
At
5」 の
ne to
三解。
《正角柱の底面と側面を異なる色で塗り分ける場合の数》
(1)異なる7色から2色選んで2つの底面を塗
る方法は2通りあり、 そのうちの1つを固
定し、残った5色で側面を塗り分ける方法は,
円順列を考えて, 4! 通りある。
異なる色をA~F で表す
FE
E
A
G
D
B
よって、異なる7色を使って塗る方法は
一色を固定
C2・4!=21・24=504通り アウ
異なる6色から2回使う色を1色選ぶ方法は, 6通りある。
2回使う色を1つ固定し、 2つの底面を塗っ
たとき, 1回だけ使う5色を使って側面を塗る
方法は、底面を上下ひっくり返したとき同じ塗
4!
E
D
A
F
IC
A
一色を固定
り方になる場合を考えて,
通りある。
2
D
E
(右図は,上下ひっくり返したとき 同じに
F
なる例)
A
B
一色を固定
次に, 1回だけ使う 5色から2色選んで2つの底面を塗る方法は 5 C2
数学
通りある。
そのうちの1つを固定し2つの底面を塗った
とき2回使う色が隣り合わないように側面を
塗る方法は,1通りであり、残りの3つの面を
3色で塗る方法は3通りある。
F
E
B
A
D
2つのAの位置は
1通りに定まる
よって、異なる6色を使って塗る方法は
回答
疑問は解決しましたか？
この質問を見ている人は
こちらの質問も見ています😉
おすすめノート
詳説【数学Ⅰ】第一章 数と式～整式・実数・不等式～
8977
117
詳説【数学Ⅰ】第二章 ２次関数（後半）～最大・最小・不等式～
6127
25
詳説【数学Ａ】第１章 個数の処理（集合・場合の数・順列組合）
6109
51
詳説【数学Ａ】第２章 確率
5861
24
理解できました！ありがとうございます🙏