数学
高校生
解決済み
（3）
なぜAPはBADの二等分線とわかるのですか？
118
実践問題 032 円に内接する四角形
円に内接する四角形ABCD において, AB-3, BC-CD=4,DA-5とするとき、
ま
(1) 対角線 AC の長さを求めよ。
②2) 四角形ABCDの面積Sを求めよ。
(3) 対角線ACとBDの交点をPとするとき 面積比△ABP APD を求めよ。
[GOAL HOW × WHY] ひらめき
さ、次の問いに
(東北学税込)
(1) 与えられた四角形について、 対角線で2つの三角形に分けることで, PIECE 410 の余弦定理が使えます
向かい合う角の和=180° であることに注意しましょう。 PIECE 405 が活かせます。
GOAL
4つの辺の長さがわ
かっている円に内接
する四角形の対角線
の長さを求める
HOW-
対角線で2つの三角
形に分けて, それぞ
れの三角形で余弦定
理を用いて, AC と
COS 0 についての連
立方程式を立てる
WHY
×
の長さと1つの角となっているから
求めたいものとわかっているものが、
(2) 長方形や平行四辺形ではないので公式は使えません。 そこで, (1) で2つの三角形に分けたことを利用
う。 (1)でわかっている角は ∠CDAのみですが, 円に内接する四角形の性質から,∠ABC もわかります。
し PIECE 411 から2つの三角形の面積をそれぞれ求め,足し合わせることで, 四角形の面積を求めまし
PIECE 402 を用います。
【解答】
(1) ∠ADCとおく。 AACD で余弦定理より
AC-4'+5'-24-5 cos 0
41-40 cos0... ①
ZABC-180-ZADC-180°-0
ABCで余弦定理より
AC-3"+4'-2・3・4 cos(180°-9)
① ② より
よって
25+24 coso ...... ②
41-40 cos 0=25+24 cos 0
64 cos 0=16
cos 0=-
16
64
01 ①へ代入して
cos 0
AC²=41-40-
AC>0より
=31
AC=√31
(2)0°0 <180°より, sin 00
よって, sin 01-cos'
(
HOW
?? WHY
P GOAL
四角形ABCDの面
積Sを求める
四角形を2つの三角
形に分けて, その
を求める
それぞれの三角形において、2辺の長さと
その間の角の sin の値を求めることができ
るから
よって
S=△ABC+△ACD
3-4 sin (180°-
=6sin 0+10 sin 0
=16sin0=16.
15
4
(3)ABP
APD は, BP, PD を底辺と見ると高さが同じなので、面積比はBP : PD になりますね
PIECE 901 が使えます。
(3) AABP: AAPD=BP:
BC=CD より, ∠BAP=
よって AB: AD=BP:
GOAL
HOW
? WHY
① ② より
ACとBDの交点を
AP は, ∠BAD の
× △ABP APD = AB: AD だから
AABP AAPD
Pとするとき
二等分線より
AABP: AAPD
BP:PD=AB: AD
求める
を利用する
とき,次の問いに答え
よ。
(東北学院大)
余弦定理が使えます。
【解答】
(1) ∠ADC=0 とおく。 ACD で余弦定理より
AC2=4'+5°-2・4・5 cos 0
PIECE
402 三角比の相互関係
405 1808の三角比
0
410 余弦定理
411 三角形の面積公式
=41-40 cos0 ...... ①
∠ABC=180°∠ADC=180°-8
△ABC で余弦定理より
180°-0.
B
5
P
4
AC2=32+42-2・3・4 cos (180°0)
=25+24 cos 0 ......
②
cos (180°-0)=-cos 0
①② より
41-40 cos0=25+24 cos o
64 cos 0=16
いるものが、3辺
いるから
よって
cos =
16
64 4
5/1/1 ①へ代入して
COS =
AC²=41-40-
AC>0より
=31
AC=√31
(2)0°<<180°より, sin 00
よって, sin0=√1-cos20 sin20+cos20=1
けたことを利用
■を求めましょ
よって
らわかります。
√15
S=△ABC+ △ACD
=12・3・4sin (180°-9)+1・4・5 sino
の長さと
=6 sin 0+10 sin 0
とができ
15
ますね。
=16sin0=16 -=4/15
(3) ABP APD=BP:PD ...... D
BC=CDより, <BAP= ∠DAP
よって AB: AD=BP:PD ・ ②
① ② より
AABP: AAPD=AB: AD
=3:5
sin (180°-0)=sin0
901 角の二等分線
119
図形と計量
(
JADO
AAHAM
C
(3) ABP
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スッキリしました、！！ありがとうございます😭