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座標空間内に, 球面 C:x+y+z=1 と直線があり,直線
は点A(a, 1, 1) を通り, u= (1, 1, 1) に平行とする.また,
a1 とする.このとき, 次の問いに答えよ.
(1) 上の任意の点をXとするとき, 点Xの座標を媒介変数を
用いて表せ.
(2) 原点Oから1に下ろした垂線との交点をHとする. Hの座
標をαで表し, OH をαで表せ.
(3) 球面Cと直線が異なる2点P, Qで交わるようなαのとり
うる値の範囲を求めよ.
(4)(3)のとき,POQ=7 となるαの値を求めよ.
精講
(1) A (zo, Yo, Zo) を通り, ベクトル u= (p,g,r)に平行な直
線上の任意の点をXとすると,
tu
OX = (xo, yo, Z0)+t(p,g,r)
と表せます.
(2) Hは上にあるので,(1)を利用すると,OHがαと
tで表せます.そのあと, OHu=0 を利用して, t
をαで表します.
(3) 球面Cと直線が異なる2点で交わるとき,
OH < 半径
が成りたちます。
(4)POQ=OPOQ=0 と考えてしまっては,タイヘンです.
それは,PとQの座標がわからないので, OP, OQ を成分で表せないから
です. 座標やベクトルの問題では,幾何の性質を上手に使えると負担が軽く
なります.
解答
(1) OX=OA+tu=(a,1,1)+(t,t,t)=(t+a, t+1,t+1)
:.X(t+a,t+1, t+1)
分かりました！ありがとうございます🙇🏻♀️