Question

芽瑠

(3)の意味がわかりません😣

第1問~第4問は,いずれか3問を選択し, 解答しなさい。
第3問 選択問題(配点16)
(
空間内に3点A (1, 0, 0), B(0, 2, 0) C(0, 0, 4) がある。 また,原点から
△ABCに下ろした垂線と △ABCの交点をHとする。空間をあり
点Hから辺 AB に下ろした垂線と辺ABの交点をKとする。
(i) 辺AB を含む直線をlとし 実数を用いて直線lの媒介変数表示を考える。
ただし, xy平面に平行な直線の媒介変数表示は, 平面上の直線のときと同様に考
えられ, 座標が加わるだけである。
このとき、直線lの媒介変数表示は
4
1+4-0
(1) △ABCの面積は
アイである。
21
AB=(-1,2,0)
AC=(-1,0.4) 11.
IA
(2)(i)点Hは平面 ABC上にあるから [AB5
ET
0-4
OH=sOA+tOB+uOC
AC=17
人に
AB-AC=1
x=1-v
y=
セ
lz=0
となる。
となる実数s, t, uが存在する。 ただし,s+t+u=1である。るの
よって
セ
の解答群
→
S,
OH=(s, t, I u
と表される。
sa +大豆 +ac
$((10,0)+( 2 c
1
24 C
0
V
① 1-v
2 v-1
32-v
v-2
⑤ 2v
6 1-2v
⑦ 2v-1
(ii) 線分 OH と平面 ABCは垂直である。
() 直線 l 上の点をPとすれば,P(1-v,
セ
0 と表されるから
よって, OH⊥AB であることから
-s+
t=0
が成り立つ。
(S,244) C-1,2,0)
-s+4
5
HP2=
ソ
タ
v+.
-104
21
①
となる。
また,OHAC であることから
OH
-s+ カキu=0
-S16
() HK⊥AB であるから, HK の長さは HP の最小値に等しい。
よって, HK の長さは
が成り立つ。
(m) ①,② と s+t+u=1 から s, t, uを求めることで,点Hの座標は
クゲ
シ&
ス
コサ
コサ
21
とわかる。
S=4t
(
HK= チ
と求められる。
チ
の解答群
5
2√5
v 105
2105
©
①
③
21
21
21
21
2√5
√105
2/105
④
105.
LI
⑥
⑦
105
105
105

21
√21
(2)(i) OH=sOA+tOB+uOC=s(1,00+t(0,2,0)+u(0, 0, 4)
=(s, 2t, 4u)
ただし,s+t+u=1である。
(Ⅱ) OH⊥AB であるから
OH-AB=0
①
よって,s(-1)+2t・2+4u・0=0 から
OH⊥AC であるから OH・AC=0
よって, s・(-1)+2t•0+4u・4=0 から
-s+*4t=0
②
-s+キ16u=0
(Ⅲ) 1より t=1/5 ②より
S
u=s
1=1/160
これらをs+t+u=1 に代入すると
16
s+1/+1/26s=1
21
S= であるから
=
u=
21'
21
(i) + OH=(s, 2t, 4u)=(21' 21' 21.
8
4
タケ16
8
ス
よって, 点Hの座標は
とわかる。
コサ21' 21' 21
(3) (i) 直線 l 上のある点をL(X, Y, Z) とする。
点Lは直線 AB 上にあるから,AL=kAB となる実数kが存在する。
よって
ゆえに
(X-1,Y,Z)=(-k, 2k, 0)
(X,Y,Z) = (1-k, 2k, 0)
xy 平面に平行な直線の媒介変数表示は,平面上の直線のときと同様に考
えられ, 座標が加わるだけである。
よって,直線 l は,点Lを通り, 0でないベクトルABに平行な直線であ
るから,媒介変数を用いて
(x,y,z)=(1-k, 2k, 0)+v(-1, 2, 0)=(1-k-v, 2k+2v, 0)
とされる。
ここで, x=1-v であるから k=0
このとき
y=2.0+2v=2v
z=0
x=1-v
よって, l は
y=2v となる。 (5)
2=0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

まろん

模範解答のやり方は確かに少し回りくどくてわかりにくいですね。
直線の媒介変数表示ときたら、直線のベクトル方程式を使ってシンプルに考えていくとよいです。

芽瑠

ありがとうございます！分かりました！