Question

May3

257番無限級数がわかりません
問題文の意味からわからないので解説お願いします

□
くった級数の和よりも1だけ大きく,各項を2乗し
257 無限等比級数がある。 その和は偶数番目の項だけ取り出してつ
て
③
つくった級
?
数の和はもとの級数の和の半分である。 もとの級数の和を求めよ。

レード数学Ⅲ
の値の範囲は
2<x<4
よって
b, =35であるから, 1 は n=1c
1のときにも
立つ。
b„=4n2+16n+15
1
1
また, 無限等比級数の和があるから 1
a
ar
259
したがって
an-bn
4n2
2 +16n +15
条件から
1-7
1-1
+
+1
...... ①
はね返
a²
また、
T
a
.....
②
(2)第n項までの部分和をSとする。
和は
1-(3-x)
きも成り立つ。
x
和は
2
an=12n+3)(2n+5)
第n項までの部分和を
であるから
S=
2
+n
22n+3
2n+5
s.-(½-½)+(-)
①の両辺に 1-2 を掛けると
9
+.....
よって
1
+2+32 +5
-n(n+1)
1/1
1
25
2n+5,
n+1
1
よって
lim Sn
00
10
1/3)+
8
+.....
ゆえに、20万は収束し,その和は
n=1
10
=(-)
a(1+r) =ar+1-
a=1-72 ③
②の両辺に 2(1-2) を掛けると
2a2=a(1+r)
a0 であるから 2a=1+r
③ を代入して 2(1-2)=1+7
整理すると 2r2+r-1=0
すなわち
(+1)(2-1)=0
球は(に
する。
球を2
高さを
にはわ
静止す
すると
S=
a,
■束し, その和は 4
1
n+1)2
256 この無限等比級数の初項は 1, 公比は
(1) S=-
1-
(1)
1\
1
1515
<1から
1=-
1
22
3
③に代入して a=
=22 (10)を満たす)
よって,もとの級数の和は
1.
1-2
34
258 (1) 0.5=0.5+0.05+0.005+......
az Jei
(2) 公比について
+......
32
1であるから,この無限
等比級数は収束し, その和Sは mil
5
5
5
=
+
10
Jei
+
102 103
5 6102
+
888
1
1
5
S=
+1)2
==
1 4
1-
4のが
5
.0m
10
5
=
=
1 9
1-
10
=
3-2
あり、
その
よっ
260
求め
きに
縦
0
(2) 0.527 = 0.5+0.027 +0.00027 +0.0000027+••••••
〇に次34以
5
n
(3) |S-S=()
したがって
その和は1
5/1
45
(3)* < 10000
1-0=
+*
を満たす最小の自然数nを求めればよい。
rei
+20
1
①から
1
2のとき
5"-1 2500 D
よって
5"-1>2500
会社
=
27
27
27
+
+
+
103
+......
105 107
27
103
+
=
1
1-2
1-
P.
(x
27 29
+
==
1990
55 12
1020
1-2
12
(3) 0.5273=0.5+ 0.0273 + 0.0000273
=
n-1≥5
5625,53125であるから
ゆえに
-1)
n≥6
したがって、求めるnの値はn=6
US VAR S V + S + R S V
257 初項をα 公比をする。
a=0のとき,条件を満たさないから¥0
+0.0000000273 + ......
Job
273 273 273
+
104
+ +
[107]
1010
+......
273
104
+
+
1-.
103nia
1 91
1 2 3330
x2051 012
878
1665.
09
*mie
1-2
12

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

等比数列の初項a、公比rとすると、
一般項は、arⁿ⁻¹となり、無限等比級数の和はa/(1-r)

この級数の偶数番目の項は、
ar、ar³、ar⁵、…となっていくので、
初項ar、公比r²の等比数列になっていることから、
無限等比級数の和は、ar/(1-r²)

問題文より、
「その和」は「偶数番目の項の和」よりも1だけ大きい　から
a/(1-r)＝ar/(1-r²)+1
という①式が出てきました。

各項を2乗して作った等比数列は、
a²、a²r²、a²r⁴、a²r⁶…となっていくので、
初項a²、公比r²の等比数列になっていることから、
無限等比級数の和は、a²/(1-r²)

これが、元の級数の和の半分であるから、
a²/(1-r²)＝1/2・a/(1-r)
という②式が出てきました。

いかがでしょうか。

May3

わかりました
ありがとうございます