Question

てばさき

セソがわかりません
なぜ点Oが円Pの接点になっているのかがわかりません
円Pに引いた2接線の長さが等しいのはわかります

16 新課程試作問題 数学Ⅰ 数学A <解答>
第3問 やや難
図形の性質 《角の二等分線と辺の比, 方べきの定理》
線分AD は BACの二等分線なので
2021年度本試験(第1日程) 「数学Ⅰ 数学A」 第5問に同じ
A
る
BD: DC=AB: AC=3:5
であるから
=
8
BD=345 BC-3-4-3-2
ア
△ABCにおいて
318
AC2 = AB2+BC2
が成り立つので,三平方の定理の逆より,∠B=90°である。
直角三角形 ABD に三平方の定理を用いて
AD'=AB2+BD2=32+ (
+2=45
4
AD>0より
AD=
45
4
35
ウエ
=1
2
オ
また,∠B=90° なので、円周角の定理の逆より
△ABCの外接円 0の直径は AC である。
A
AP=
5
→ク
新課程試作問題 数学Ⅰ. 数学A (解答) 17
Pは△ABCの外接円0に内接するので,円Pと外接円 O との接点Fと,円Pの中
心Pを結ぶ直線PF は, 外接円Oの中心を通る。
これよりFGは外接円の直径なので
であり
FG=AC=5
PG=FG-FP=
-
したがって, 方べきの定理より
0
AP・PE=FP・PG B
AP (AE-AP)=FP・PG
√5r (2√5-√√5r) =r (5-r)
4y2-5r=0
r (4r-5)=0
PX
D
F
E
C
<B
Tube
ok
対
B
D /c
と表せる。
4
はっていると
とはいえない
円周角の定理より
∠AEC=90°
20
なので, AEC に着目すると, △AECと△ABD に
おいて, CAE = ∠DAB, ∠AEC= ∠ABD=90°
より,AEC△ABD であるから
B
D
AE: AB=AC: AD
E
3√5 3√5
AE:3=5:
AE=15
2
2
2
∴. AE=15×- = 2
3√5
5
→カ, キ
A
円Pは△ABCの2辺AB, AC の両方に接するので
円Pの中心Pは∠BACの二等分線AE 上にある。
円P と辺AB との接点をHとすると
∠AHP=90° HP =r
HP // BD より
AP: AD=HP: BD
H
B
AP:
3√5
2
3
3
3/5
=r:
2
ZAP-
2
L
F
D
P
E
5
>0 なので
コ
r=
14
ので
内接円 Qの半径を とすると, (△ABCの面積)=(AB+BC+CA) が成り立つ
1
1.3.4 ='(3+4+5)
よって, 内接円Qの半径は 1
∴.r'=1
→シである。
内接円 Qの中心Q は, ABC の内心なので, <BAC
C
の二等分線 AD 上にある。
内接円 Qと辺 AB との接点をJとすると
∠AJQ=90° JQ=r'=1
なので,JQ // BD より
AQ: AD=JQ:BD
3√5 3
AQ: -=1:
..AQ=√
2
2
AQ=
3 3/5
2
CLA
5
→ス
である。
また,点Aから円Pに引いた2接線の長さが等しい
ことより
AH=AO=
AC 5
2
=
2
セソ
JQ
B
D
C
H
P
B
D
0

問題 数学Ⅰ 数学A
第3問 (配点 20)
△ABCにおいて, AB = 3, BC = 4, AC = 5とする。
∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとすると
BD =
ア
イ
ウ
H
AD =
オ
である。
また,∠BACの二等分線と△ABCの外接円 0 との交点で点Aとは異なる点をと
する。 △AECに着目すると
AE =
キ
である。
△ABC の 2辺 AB と AC の両方に接し, 外接円 0に内接する円の中心をPとする。
円Pの半径をとする。 さらに,円Pと外接円0との接点をFとし, 直線 PF と外接
円 0との交点で点Fとは異なる点をGとする。このとき上
| AP =
ク |r, PG = ケ |-r
コ
と表せる。 したがって, 方べきの定理によりr=
である。
A
0
も
新課程試作問題数学Ⅰ. 数学A 19
△ABCの内心をQとする。 内接円 Qの半径は
シで,AQ= スである。
セ
また,円Pと辺AB との接点をHとすると, AH=
である。
ソ
以上から,点に関する次の(a) (b)の正誤の組合せとして正しいものは
タ である。
(a)点Hは3点 B, D, Qを通る円の周上にある。
(b)点Hは3点 B, E, Qを通る円の周上にある。
タ
の解答群
①
(a)
正
(b)
正
②正
正
③

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

参考・概略です

●円Ｐについて考えると
　　円外の1点Ａから接点Ｈ，Ｏに引いた接線が等しく
　　　ＡＨ＝ＡＯ　…　①

●円Ｏについて考えると
　　ＡＣが直径で、Ｏが中心であることからＡＯ＝ＣＯで、
　　　ＡＯ＝(1/2)ＡＣ　…　②

①，②より
　　ＡＨ＝ＡＯ＝(1/2)ＡＣ