子固定法
x,y,x+y≦2を同時に満たすx,yに対し,
z=2zy+ax+4y
の最大値を求めよ.ただし,aは負の定数とする。
逆手流使ってもやこしくなる
(東京経済大,改題)
1文字固定法
例題 12 や 13 のときと違い,本間では2変数x、yの間には等式の関係はない.
こういう本格的な2変数関数を扱うときの原則は,
イコールの式じゃない
とりあえず, 2変数のうちの1変数を固定してしまう (定数とする)
という考え方である. 仮に,yが整数だとして本間を考えると,0,1,2の値を取る.そこで,
y=0, 1, 2のそれぞれの場合について, æの1変数関数であるぇの最大値をそれぞれ Mo, M1,M2 とす
ると,求める最大値は,
Mo, M1, M2 のうちの最大のもの
であることは明らかであろう.例えば,日本を3ブロックに分けたときのそれぞれの優勝者を Mo, M1,
M2 とすると,日本一の者はこの3人の中にいるはず、ということである
Mo, M1, M2 はいわばブロック予選の勝者で, そういう勝者を集めておこなった決勝戦の勝者こそが,
真のチャンピオンであるということである.
「とりあえず1文字を固定する」 というのは数学の重要な考え方の1つなので,きちんと身につけて
おこう.
解答
y≧0, x+y≦2により, x≦2である。 よってxの範囲は, 0≦x≦2.......... ①
とりあえずに固定すると, z=2ty+at+4y. これをyの1次関数と見て,
・・☆
z=(2t+4)y+at (0≦y≦2-t)
2t+4>0により, これは増加関数であるから, x を tに固定したときのzの最
大値は,y=2-tのときの
(2t+4) (2-t)+at=-2t2+at+8
・②
である.ここで, tを動かす. すなわち、②をtの関数と見なす. ①により,tの
定義域は 0≦t≦2であり,この範囲では, α<0により②は減少関数であるから,
t=0で最大値 8をとる. 以上により, 求める最大値は8である.
????
æを定数にする. (x を定数とす
る)
②はブロック予選の優勝者 (たと
←えば 「x=1ブロック」の優勝者
はα+6である)
22, at はともに減少関数 (グ
ラフを考えれば明らか ).
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注 上の解答の流れをもう一度説明しよう.
x0,y,x+y≦2を満たす点(x, y) は右図
網目部上にある. P(x, y) がこの網目部を動くと
きのzの最大値を求めればよい.
YA
2
2-t
y=2-x
とりあえずを固定 (右図ではx=t に固定) す
ると,点Pは右図の太線分上を動く. このときの
の最大値が②である。 図の太線分を,0≦t≦2で動
かせば、網目部全体を描くので,②を 0≦t≦2 で動
かしたときの最大値が求める値である. まとめると,
1°xtに固定, yの関数と見る.
2°y を動かして最大値を tで表す.
3°°の式を関数と見て、その最大値を求める.
14 演習題 (解答は p.60)
平面内の領域-1≦x1, -1sy≦1において
1-ax-by-axy
0
2
x
x=t
yが太線分上を動くとき,☆によ
り はyの増加関数であるから,
CO
の最小値が正となるような定数a, b を座標とする点 (a, b) の範囲を図示せよ.
y=2-tのとき最大となり, その
最大値が ② である.
( 東大文系)
1文字固定法の威力が分
かるはず.
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