Question

ハルカ

このような問題を解く時、
この問題だったら、なぜ、ACBが45°になるとわかるのですか？
DCBが75°なので、30°でもいけるのではと思ってしまいました。
このような感じで、ある角度の二等分線を引いた先が、対角とは限らないですよね、どうやって特定してるのでしょうか。よろしくお願いします🙇‍♀️

次のような図形の面積を求めよ。
(1) AD // BC, AB=5, BC=6,DA = 2, ∠ABC=60°の四角形ABCD
°
(2) AB=2,BC=√3+1,CD = √2,B=60°,C=75
の四角形ABCD
(3)1辺の長さが1の正十二角形

A
D
2
√√6
v2
75°
60°
7
45°
B
√3+1
C

数1 三角形の面積

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かなやん

ハルカ様
対角線を引くという考えはとても良いですね！
ただ書かれている通り希望的推測で線を引いてしまうとドツボにハマるので注意しましょう！

さて、(2)の問題ですが、
対角線ACを引くか、対角線BDを引くかの選択ですが
対角線ACを引いた場合、△ABCの二辺とその間の角がわかるので余弦定理で線分AC、正弦定理でsinACBを求めることができます。
一方で対角線BDを引いた場合、△BCDの二辺とその間の角がわかるのですが、C=75°のため三角比がわからず数学Ⅰの学習内容ではこれ以上求めることができない。

このような理由で対角線ACを引きます。
△ABCの余弦定理より、AC=√6
△ABCの正弦定理より、b/sinB=c/sinC
　　　　　　　　　　　sinACB=1/√2
これより角ACB=45°
すると求める四角形の面積が△ABCと△ACDの和で求めることができます。

ちなみに、式は次のようになります
　　四角形ABCD=△ABC+△ACD
　　　　　　　　=1/2×BA×BC×sinB + 1/2×CA×CD×sinACD
　　　　　　　　=1/2×2×(√3+1)×√3/2 + 1/2×√6×√2×1/2
　　　　　　　　=(3+√3)/2 + √3/2
　　　　　　　　=√3 + 3/2

ハルカ

とても分かりやすかったです！🙇‍♂️🙇‍♂️
何となくではなくて、ちゃんと計算しないといけないということですよね。
ありがとうございました🙇‍♂️

Answer 2

ものぐさ

有名角やcosやsinが与えられて、その角を構成する辺の長さが分かっている時には垂線を下す癖をつけた方がいいです。とくに今回BCが1+√3と意味深な与えられ方をしているのでAから BCに垂線を下ろしてみようというきになります。
垂線の足をHとするとAH=HC=√3で垂直なので
直角二等辺三角形が隠れていたんだってきがついて
そこから角ACBが45度ってわかります

ハルカ

そのようにして考えることもできるのですね！
ありがとうございました🙇‍♂️🙇‍♂️