Question

かず

キの問題なんですが、電位は無限遠基準で金属球内部では電位が等しいからbじゃなくてc点での電位を考えるべきだと思ったんですが答えはbでした。教えて欲しいです

W
86 13 静電気力と電場
105.〈帯電した導体がつくる電場〉
次の文中の に適切な数式または数値を入れよ。 ただし, 数式は, ko, a, bxQq
のうち必要なものを用いて答えよ。
ガウスの法則によると, 任意の閉曲
面を貫く電気力線の密度は電場の強さ
に等しい。 例えば, 真空中で点電荷を
中心とする半径rの球面を仮定して考
えれば,点電荷から出る電気力線の本
数を球の表面積でわった値が球面にお
ける電場の強さとなる。 そのため,電
金属球 M
Q
-a-
図1
なぜここ電場ない
金属球殻 N
Q
図2
0,0
N
M
図3
気量g (g>0) の点電荷から出る電気力線の本数nは,真空中でのクーロンの法則の比例定数
ko を用いて, n=アと書ける。
図1のように,真空中に半径αの金属球Mがあり, Q(Q>0) の電気量をもつように帯電さ
せた。金属球Mの中心Oから距離xだけ離れた点における電場の強さE,電位Vについて考
える。 ただし, 電位Vは無限遠方を基準とする。
xa のときは,金属球Mから出る電気力線は金属球Mの中心から放射状に広がると考
えられるため、電場の強さEは,E=イとわかる。 また、 その点の電位Vは,
V=ウである。
また, x<a のときは,導体内部の電位は導体表面の電位と等しく, 導体内部に電気力線
が生じないことから,E= エ,V=オとなる。
図2のように,内半径 6, 外半径cの金属球殻Nがあり, -Qの電気量をもつように帯電
させた。このとき, 金属球殻Nが球殻内部の真空の空間につくる電場は,内部に発生する電
気力線のようすを考えると0である。
次に,図3のように, 真空中で, 金属球殻Nで金属球Mを囲い, 金属球殻Nの中心 O' が金
属球Mの中心Oに一致するように配置した。 ただし, a<b<c であり,金属球Mの電気量は
Q,金属球殻Nの電気量はQのままであるとする。 このとき, 中心Oから距離
x(a<x<b) だけ離れた点における電場の強さ E' は,金属球 M, 金属球殻Nがそれぞれ単
独でつくる電場を足しあわせた合成電場の強さであるので,E'=カである。また,金
属球殻Nに対する金属球Mの電位 VNM は,金属球殻Nの内部には電気力線は生じないので
VNM=キである。
金属球Mと金属球殻Nは,電位差 VNM を与えればQ の電気量が蓄えられるコンデンサー
とみなすことができる。このコンデンサーの電気容量Cは,C
無限基準やから
である。
Cとこの電位が
のものとこの電位じゃないん?
[20 関西大 ]
秘解

ヒント 105 〈帯電した導体がつくる電場>
図 a
問題を解く手がかりとなる情報が問題文の中に散りばめられているので、 よく読んで解き進める。
(イ) 『金属球 Mから出る電気力線は金属球Mの中心から放射状に広がる』 電気量Qの点電荷と同じ
(エ) 「導体内部に電気力線が生じない』 導体内の電場 0
(オ) 『導体内部の電位は導体表面の電位と等しい』 導体表面(x=α) での電位を求める
(カキ) 問題文で, 金属球殻Nが内部に電場をつくらないことが説明されている。
(ア)電気量 gの点電荷が離れた位置につくる電場
◆A
電場Eと電位Vを
xの関数としてグラフに表す
と図bのようになる。
の強さは Ev=ko722
+ +
と表せる。 問題文より, 点電荷から出る電気力線
の本数nを球の表面積4mr2でわったものが電場
H++Q+
E
+
+
n
の強さになるのでEq=
4722
が成りたつ。よって
ko
20
Q
a²
図 a: 金属球 M による電場
n=Eg×4mr2=ko zx4ur2=4zkoq
0
a
x
(イ) 金属球Mから出る電気力線の本数は4mkoQである。 x離れた位置での電
場の強さEは,半径xの球の表面積 4πx2でわってE=
4лkoQ Q*A-
4x2
=koz
ko
x
00
Q
a
ウイの結果は,中心に点電荷Qがあるときと同じなのでV=ko_
(エ) 導体内は電気力線が0本なのでE=0A
Q*A-
XC
0
a
x
(オ)導体内は導体表面と等電位より, x=αでの電位と等しく V =ko_
Q*A-
a
(カ)金属球殻Nは,その内部に電場をつくらないので,代入忘れず
a<x<bでは金属球Mがつくる電場のみとなる(図c)。
よってE'=kox
*B
+
+ +
-Q
図b
B 金属球殼N中では,
金属球Mの電荷に引き寄せ
られる静電誘導が起こる。 よ
って厳密には、図2と図3
は金属球殻Nにおける電荷分
布が異なっている。
+ + +Q+
++
+
(キ) 導体内は導体表面と等電位より,金属球M内の
電位は x=αでの電位に等しく, 金属球殻内
この電位はx=6での電位に等しい。一方, (カ)で
求めた合成電場の式は,点電荷のまわりの電場の
式の形と同じである。 以上より, 点電荷のまわり
の電位の式から, x=αのときと x=b のときの
電位差を考えると, 電位差 VNM は
(b-a)Q*C+
図 c
c-aとベッた
Ca<x<b以外の部
分の電場は点電荷のまわりの
電場の式では表すことができ
ないため、 無限遠を基準とし
また各点の電位は点電荷のまわ
りの電位の式では求められず
電位差のみが求められる。
Q
VNM=ko-
・ko
=ko-
a
ab
(ク) 「Q=CV」より
Q
ab
C=
VNM
ko(b-a)
等電位
やから
物理重要問題集
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