Question

かなかな

この問題なのですが、2つの方程式を2つの関数だと考えてこれの共有点が1つと考えてはいけないのでしょうか。

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重要 例題 81
方程式の共通解
00000
2つの2次方程式 2x2+kx+4=0, x2+x+k=0がただ1つの共通の実数
解をもつように,定数kの値を定め、その共通解を求めよ。
CHART & SOLUTION
方程式の共通解
共通解を x=α として方程式に代入
基本77
2つの方程式の共通解を x=α とすると,それぞれの式にx=α を代入した 20²+ka+4= 0,
a2+α+k=0が成り立つ。 これをα, kについての連立方程式とみて解く。 「実数解」という
条件にも注意。
解答
共通解を x =α とすると
2a2+ka+4=0 ... ①, a2+α+k=0
①-② ×2 から (k-2)α+4-2k=0
x=αを代入した①と
②の連立方程式を解く。
α2 の項を消す。
すなわち
(k-2)a-2(k-2)=0
よって
(k-2)(a-2)=0
ゆえに
k=2 または α=2
[1] k=2のとき
2つの方程式は, ともに x2+x+2= 0 ･･③ となる。
その判別式をDとすると
D=12-4・1・2=-7
D< 0 であるから, ③ は実数解をもたない。
共通の実数解が存在する
ための必要条件であるか
ら, 逆を調べ, 十分条件
であることを確かめる。
←ax2+bx+c=0 の判別
式は D=62-4ac
よって, k=2 は適さない。
[2] α=2のとき
②から 22+2+k=0
よって k=-6
がわか
をかくにん
このとき2つの方程式は
2x2-6x+4=0 ... D',
となり, ①'の解は x=1, 2
よって、確かにただ1つの共通の実数解 x=2 をもつ。
[1] [2] から k=-6, 共通解はx=2
x²+x-6=0
......
・②'
2(x-1)(x-2)=0,
②' の解は x=2, -3
(x-2)(x+3)=0
INFORMATION
この例題の場合, 連立方程式 ①,②を解くために,次数を下げる方針でαの項を消
去したが,この方針がいつも最も有効とは限らない。
下のPRACTICE 81 の場合は, 定数項を消去する方針の方が有効である。
PRACTICE 810

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

AZ

f(x)=2x²+kx+4 と g(x)=x²+x+k　が共有点を1つだけもつことをいっているのであれば、それは正しくないです。
問題文の条件をf(x)とg(x)を用いて言い換えると、f(x)とg(x)がx軸上のある1点でのみ交わる場合に対応します。
なお、この場合はx軸上以外の場所であれば f(x)とg(x)が交わっていても構いません。
他方、f(x)とg(x)が共有点を1つだけもつという条件に対しては、この共有点がx軸上にあれば問題ないですが、一般にこの共有点はx軸上にあるとは限らないので題意を満たしません。

AZ

例えば、y=x² と y=-x²+x　はx軸上の(0,0)という点で交わります。
すなわち、2つの方程式　x²=0 と -x²+x=0がx=0という共通の解をもちます。
しかし、この2つの曲線は共有点を2つもちます。

AZ

× f(x)とg(x)がx軸上のある1点でのみ交わる場合に対応
⚪︎ f(x)とg(x)がx軸上のある1点で交わる場合に対応

かなかな

ありがとうございます