Question

れもん

(1)についてです。
右のような記述でも合っているか教えていただきたいです🙏
お願いいたします🙇‍♀️

礎問
45 はさみうちの原理 (II)
数列{a} は 0<a<3, an+1=1+√1+an (n= 1, 2, 3, ...)をみたす
ものとする。このとき,次の(1),(2),(3)を示せ.
(1) n=1,2,3, ... に対して, 0<an<3
(2) n=1,2,3,
...
に対して, 3-an≦ 3
=(1/2) (301)
(3) liman=3
818
精講
(1) 漸化式から一般項を求めないで数列の性質を知りたいとき,
ず,数学的帰納法と考えて間違いありません.
ま
(2)これも(1) と同様に帰納法で示すこともできますが,「≦」を
「=」としてみると,等比数列の一般項の公式の形になっています。
(3)44 のポイントの形になっています。ニオイプンプンというところでしょう.
解答
(1) 0<a<3････① を数学的帰納法で示す.
(i) n=1のとき, 条件より 0<a<3 だから, ① は成りたつ.
(i) =k(k≧1) のとき, 0<a<3 と仮定すると, 1 <ak+1 <4
..1<√1+ak<2
問題より。
両辺に1を加えて 2<1+√1+ak <3 ∴. 2<ak+1 <3
よって, 0<ak+1 <3 が成りたつ.
(i), (ii)より, すべての自然数nについて ①は成りたつ

45
(1)(n=1のとき
Oa,<3は成り立つ。
(1) Oak <ろが成り立つと仮定すると
Ok+1=1+1+ax より
0 <\+ √1+ak <3,
Oak+ <3
したがってn=1,2,3に対して
0<an <3

数学的帰納法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

フラッグ

0<a(k)<3が成り立つと仮定すると、
0<a(k+1)<3を示さなければいけないのに、
(ii)3行目で、その示すべき不等式を使ってしまっています。これがいけない！
質問はありますか？

れもん

回答ありがとうございます🙇🏻‍♀️
0<aₖ<3と仮定しているので0<aₖ₊₁<3も成り立つので書いて良いと思ったのですが、いけないのでしょうか🙏
お願いいたします!!

フラッグ

0<a(k)<3…①が成り立つと仮定するというのは、n=kのとき①を仮定することですが、n=k+1のとき
0<a(k+1)<3が成り立つかどうかは、これから確かめるべきことであって、現時点で使ってよいことではありません。
仮定したことと、それを用いて示すべきことをハッキリさせることが大切です。

れもん

回答ありがとうございます🙇🏻‍♀️
赤で囲んだところが0<aₖ₊₁<3を示す根拠として書いたつもりだったのですが、何か書き足す方が良いでしょうか？
質問が多くてすみません🙏💦

フラッグ

あまり辛辣な言い方はしたくないですが、一つ聞かせてください。a(k+1)=1+√1+a(k) を、いったいどこに代入したのでしょうか？

れもん

与式のnをkにかえて、0<aₖ<3 と仮定したので、1+√1+aₖも0より大きくなり3より小さくなると考えてこうしました🙏

フラッグ

それでしたら、式変形をもっと丁寧にすべきです。画像を参考にしてください。

れもん

理解出来ました！ありがとうございます🙇🏻‍♀️！

Answer 2

ホタテ貝

(ii)の2行目から3行目への式変形もう少し途中式を丁寧に書かないと減点されてしまう可能性が高いです！

れもん

理解出来ました☺️ありがとうございます🙇🏻‍♀️