Question

おもち

この2つの問題で、まず練習13のマーカー引いているところでどうしてそうなるのか教えてほしいです！
それと！
14番の問題でこの直線束の考え方は直線の方程式だけじゃなくて円の方程式も求められるのか、なにを求める時に使えるのかと、
この(2)でどうして(1)とおなじく
直線束で求めらないのかとなんでk=-1で消えるって分かったのか教えてほしいです！！！

88 第3章 図形
練習問題 13」
の
(1) 2直線 3+5y-2=0 と7ェー3y-2=0 の交点と点 (1.1) を通る直
線の方程式を求めよ.X
(2)a を実数とする. 直線 (a+2)+(2a-5)y-4a+1=0 はαの値に
よらず定点を通ることを示し, その定点の座標を求めよ. ×
精講
(1)は,もちろん実際に交点を求めてから直線の方程式を作ることも
できますが,ここでは前ページで説明した「直線束」の考え方を利
用してみましょう (2)も, αで整理すると直線束の形をしています。
解答
(1) 3.+5y-2=0 と 7x-3y-2=0 の交点を通る (7-3y-2=0 以外の)直
の情報を 不足なく持させる
線は
3x+5y-2+k(7x-3y-2)=0 ･･････ ①
と表すことができる. これが (1,1) を通るので,
6+2k=0 すなわち k=-3
これを① に代入すれば
3+5y-2-3(7x-3y-2) = 0 すなわち 9x-7y-2=0
コメント
2直線の交点を実際に求めると ( 1 ) となり、この点と(1.1) を通る
11
直線の式を求めても同じ結果が得られます.ただ,束の考え方を使えば,この
交点を求めることなく答えが得られるのがポイントです。
(2) 与えられた式をαで整理すると
(2x-5y+1)+α(x+2y-4)=0 ...... ②
この直線は,αの値によらず2直線 2-5y+1=0 •
x+2y-4=0
・③と
④の交点を通る. ③④を連立方程式として解けば
(x,y)=(21) となるので,②はαの値によらず定点 (2,1) を通る
コメント
これは②がαの値によらず成立する, つまり②がαについての恒等式とな
条件は、②をαの1次式と見たときの係数がすべて0になること、つまり③
るような (x,y) の値を求める問題であると見ることもできます.そのための
④が成り立つことです.

練習問題 14j
E89
2円 C:x2+y^-5=0,C2:x2+y^-6x+2y+5=0は2点で交わっ
ている.
(1) C,C2の2つの交点と (0, 5) を通る円の方程式を求めよ. ×
(2) C1, C2 の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ. X
も利
利
精講
具体的に2つの交点を求めることもできますが,ここでも「束」の
考え方を使ってみましょう. 直線束と同様
(x2+y2-5)+k(x2+y2-6.x+2y+5)=0
......
・(*)
直
という形の式を作ると,これ
は C と C2 の2つの交点を通
るような (C2 以外の) 円の集ま
りになります.これを円束と
いいます。
ニー
このときだけ
/k=-1 直線になる
k=-
4
k=-2
k=0
Cil k=1
k=-4
ただし, k=-1 のときだけは
x2 と y2 が消えてしまうので,
この図形は直線になります。
それは, C1, C2 の2つの交点
を通る直線です.
(円束
解答
(1) C,C2の2つの交点を通る (C2以外の) 円または直線は
(x2+y2-5)+k(x2+y2-6x+2y+5)=0
と書ける.これが (0, 5) を通るので,
.... (*)
1
20+40k=0 すなわち k=
==
2
これを(*)に代入して,
(x² + y² −5) — 1½ (x² + y²-6x+2y+5)=0
両辺を2倍して整理すると
x2+y'+6x-2y-150 ((x+3)2+(y-1)^=25)
(*)に k=-1 を代入すると
6x-2y-100 すなわち 3x-y-5=0
これが C と C2 の2つの交点を通る直線に他ならない。

数ii図形と方程式

Answer 1

ものぐさ

2直線③,④の交点の(x,y)は③の解でも④の解でもあるので②式のaの係数も0で、aがかかってない所も0になって②をaの値をいくらいれても関係なく絶対にみたす。つまり交点の座標は②式を絶対に通ります