Question

よー

マーカーを引いたところが分かりません。
異なる共有点が1つまたは2つだとなぜダメなんですか？

例題 240 4次関数
★★★☆
関数f(x)=x4+x-3x-kx+1 が極大値と極小値をもつような定数 k
の値の範囲を求めよ。
思考プロセス
定義に戻る
4次関数 f(x) が
/極大値)
をもつ。
その前後で(f(x)
|f'(x) = 0 となるx が存在し,
(f'(x) が正から負
に変わる。
極小値
f'(x)が負から正
f(x)=0が3次方程式であるから,例題225のように判別式は利用できない。
«R Action 方程式 f(x)=kの実数解は,y=f(x)のグラフと直線 y=kの共有点を調べよ 例題 237
解 f'(x) = 4x3+3x2-6x-k
関数 f(x) が極大値と極小値をもつための条件は、
f'(x) = 0 となり,かつその前後でf'(x) が負から正およ
び正から負に変わる x が存在することである。
このとき,g(x)=4x3+3x2-6x とおくと,
237
曲線y = g(x) と直線 y=kの上下が2度入れかわるか
ら, 曲線 y=g(x) と直線 y=kは異なる3つの共有点
をもつ。
g'(x) = 12x2+6x-6
(
負から正に変わるxで極
小, 正から負に変わるx
製造で極大となる。
f'(x)=g(x)k の正負
を曲線 y=g(x)と直線
y=kの上下から考える。
y=g(x)
y
=6(2x-1)(x+1)
g'(x) = 0 とすると
x = -1.1/23
k
y=k
a
7 X
YA
y=g(x)
15
よって,g(x)の増減表は次のようになる。
x
...
・1
g'(x) + 0
120
7
g(x)>
5
...
+
4
→
y=g(x) のグラフは右の図のよう
になるから, 求めるんの値の範囲は
<k<5
4
y=k
12-
1074
x
g(x)の符号
上の図より, f(x) は
x = αのとき極小
x=βのとき極大となる。
g(x)=4.x+3x2-6x-k
とおくと
(=f'(x))
g'(x)=0のとき
-1,
であるから
(-1)(1/2) <0より
の値の範囲を求めてもよ
い

Answer 1

きらうる

4次関数は、写真のように山・谷が最大3つできます。
極大値極小値を持つためには、この山・谷が3つともできないといけません。
ということは、f'(x)＝0となるxの値が3つ存在する必要があり、今回の問題なら、y＝f'(x)=g(x)とy=kの交点が3つ必要であることが条件になります。

よー

f'(x)=0となるxの値が2つだったら、f(x)の傾きが0になる位置が２つあるので極大値極小値ができると思ったのですがその考えだと間違ってますか？

きらうる

写真を参照に
f'(x)=0となるxが2つの場合、f'(x)は3次関数になるので、必ず重解を持ちます。
すると、今回の写真の真ん中のグラフのように、1つの極値しかもたないグラフになります。
↗→↗　や　↘→↘　のようになっている点は極値とは言いません。

なので、f'(x)＝0となるxが2つだったとしても、4次関数が3次関数のようなグラフにはならないので、極大極小の2つとも持つことありえないのです。

Answer 2

さぼてん

グラフを描けば解決しますよ