Question

波瑠

高次不等式の問題です。青い波線より上と場合分けの青いラインが引いてあるところはわかるのですが実際に場合分けのやり方(表)が解説を読んでもわからないので解説お願いします。

次の不等式を解け。 ただし, αは正の定数とする。
x-(a+1)x2+(a-2)x+2a≦0

不等式の左辺をαについて整理すると
(x-x²-2x)(x-x-2)a≦0
x(x+1)(x-2)-(x+1)(x-2)a≦0
(x+1)(x-2)(x-a)=0
4x³-x²-2x
=x(x2-x-2)
=x(x+1)(x-2)
よって
[1] 0<a<2のとき
[1] f(x)=(x+1)(x-2)(x-a)
右の表から、 解は
[2] a=2のとき
不等式は (x+1)(x-2)' ≧0となり
(x-2)20であるから
x2=0 または x+1≦0
x
x+1
x-a
x-2
-
-
x-1, a≦x≦2
-1
... a
...
2
-
0 + +
+
+
-
+
+
0
f(x)
-
0
+
0
0
ゆえに,解は x≦-1, x=2
[3] 2<αのとき
右の表から,解は
x≦1,2≦x≦a
[1]~[3] から, 求める解は
0<a<2のとき x≦1, a≦x≦2
a=2のとき
2 <αのとき
x≦-1, x=2
x-1, 2≦x≦a
[3] f(x)=(x+1)(x-2)(x-a)
x
...
-1
...
0 +
x+1
x-2
-
x-a
f(x)
0 +
2+0
10
1
...
+
+
a
4++00
-
0-
-

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

たとえば、x+1は、-1を境目に、+-が変わりますよね
xが-1以下なら、x+1は0以下です
xが-1以上なら、x+1は0以上です

もう少し感覚的にわかりやすいように、
数直線を交えて描いてみると見やすいかもしれません

波瑠

解説ありがとうございます。理解できました。