Question

さな

（2）の格子点の個数がなぜこうなるかわかりません
解説お願いします🙇‍♀️

る。
座標,座
(1) 領域は,右図のように, x軸, y 軸, 直線
y=-
2
1
x+nで囲まれた三角形の周および
内部である。
457
yA
n
n-
y=-
(x=2n-2y)
直線 y=k(k=n, n-1,……………,0)上には,
基本 20,21
よって, 格子点の総数は
=n2+2n+1
=(n+1) (個)
(2n-2k+1) 個の格子点が並ぶ。
k=0
(2n-2k+1)=(2n-2.0+1)+(-2k+2n+1)
k=1
=2n+1-2・1/13n(n+1)+(2n+1)n
1
0
1 2
2n-21 2n
1
2n-1
k=0 の値を別扱いにし
たが、
-2k+(2n+1)1
k=0
--2-(n+1)
k=0
+(2n+1)(n+1)
でもよい。
章
3種々の数列
別解 線分x+2y=2n (0≦y≦n)
上の格子点 (0, n), (2-1),
(2n, 0) の個数は n+1
YA
-x+2y=2n
n
2-2y
点が並ぶ
止める個数
4(0, 0), (2n, 0), (2n, n),
(0, n) を頂点とする長方形の周
および内部にある格子点の個数は
(2n+1)(n+1)
②の方針
X
長方形は, 対角線で2つ
の合同な三角形に分けら
0
2n
(n+1) 個
れる。
ゆえに、求める格子点の個数をNとすると
2N-(n+1)=(2n+1)(n+1)
よって
( 求める格子点の数) ×2
- 対角線上の格子点の数)
=(長方形の周および内
部にある格子点の数)
よってN={(2n+1)(n+1)+(n+1)}
Jei (AZ)
=1212 (n+1)(2n+2)=(n+1)(個)
(2)領域は,右図のように, y軸, 直線 y=n2, 放物線
y
y=x2
y=x2 で囲まれた部分である (境界線を含む)。
直線x=(k=0, 1,2,
....... n) 上には,
n²
n2-1
(n-k2+1) 個の格子点が並ぶ。
n2+1
よって, 格子点の総数は
個
は
nとお
る。
練習
32
k=0
(n²-k²+1)=(n²-0²+1)+(n²+1-k²)
1
k=1
0
x
= (n²+1)+(n²+1) 1-k²
k=1
別解 長方形の周および内
=(n+1)+(n+1)n-1/n(n+1)(2n+1) 部にある格子点の個数
(n+1) (n+1) から領域
=(n+1)(4-n+6)(個)
外の個数を引く。
k=1
Ixy 平面において,次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点の個数を求めよ。
ただし,
nは自然数とする。
(2) 0≤x≤n, y≥x², y≤2x²
p.460 EX 21
(1)x0,y≧0, x+3y3n

重要 例題 32 格子点の個数
xy 平面において、 次の連立不等式の表す領域に含まれる 格子点(x座標, y 座
基本 20,21
標がともに整数である点) の個数を求めよ。 ただし, nは自然数とする。
(1)x0,y,x+2y≦2nめよ。
(2) x≥0, y≤n², y=x²
指針 「不等式の表す領域」は数学Ⅱの第3章を参照。
nに具体的な数を代入してグラフをかき, 見通しを立ててみよう。
(1) n=1のとき
n=3のとき
解答
y=
内部
直線
(2n-
よっ
k=
n
n=2のとき
YA
YA
=x+2y=2.3
x+2y=2.2
30
x+2y=2.1
-20
2
-10
-16
x
12
x
2
3
4
x
0 12
4 5 6
n=1のとき
1+3=4,
n=2のとき 1+3+5=9,
n=3のとき 1+3+5+7=16
一般 (n) の場合については,境界の直線の方程式x+2y=2n から x=2n-2y
よって, 直線 y=k(k=n, n-1,......, 0) 上には(n-2k+1) 個の格子点が並ぶ
から (2n-2k+1)において,k=0,1,
nとおいたものの総和が求める個数
となる。
ms)
(2) n=1のとき
n=2のとき)+1
In=3のとき
y
y=x2+
+ y = x² + 2 y
y=x2
【別解
[上] []
4月
(0
お
+
a
-9 [土
-4
-1-
0
n=1のとき
L
n=2のとき
n=3のとき
x
OP
1
x -O
(1-0+1)+(1-1+1)=3, SO
(40+1)+(4-1+1)+(4-4+1)=10,
(9-0+1)+(9-1+1)+(9-4+1)+(9-9+1)=26
3.
一般 (n) の場合については, 直線x=k(k=0, 1, 2,...., n-1, n) 上には
(n2+1)個の格子点が並ぶから,(n2-2+1)において,k=0, 1, ......,
いたものの総和が求める個数となる。
nとお
また、次のような、図形の対称性などを利用した別解も考えられる。
(1)の別解 三角形上の格子点の個数を長方形上の個数の半分とみる。 自
このとき、対角線上の格子点の個数を考慮する
(2)の別解 長方形上の格子点の個数から,領域外の個数を引いたものと考える。
E
30
以上から,本間の格子点の個数は,次のことがポイントとなる。
(S)
直線x=kまたはy=k上の格子点の個数をんで表し、加える。
2 図形の特徴 対称性など) を利用する。
(2)
練習
@32

Answer 1

和

具体的に解説のどこがわからないかを、
はっきりさせてみてください

そのわかるわからないの洗い出しができないと、
いい説明を受けても
自分一人でできるようになりません

さな

すいません　
もう一度考えてみたら理解できました
どこがわからないかを考えて勉強していきます🙇‍♀️