Question

れもん

1番左の写真の(3)について質問です。
1番右の写真の問題のように半径をxと考えて解かないのはなぜですか？🙏

練習問題 中
(1) 曲線 y=tanx とx軸および x=-
π
で囲まれる部分を、軸のまわ
4
りに1回転してできる立体の体積を求めよ.
20≦x≦1において,曲線 y=x2 と曲線y=√で囲まれる部分を,
x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ.
(3)曲線 y=e* とy軸およびy=eで囲まれる部分を、y軸のまわりに
1回転してできる立体の体積を求めよ.

10
(3) y=ex=logy
1≦y≦e において, (0, y, 0) 通り,y軸
ル
YA
e
| y = e²
I
x=logy
に垂直な平面で回転体を切る .
y
断面は半径10gyの円になり,その面積は
logy
л(logy)²
求める体積は
(logy)² dy
=[y (logy)-2ylogy+2y],
={(e-2e+2e)-(0-0+2)}
=л(e-2)
Ology
(logy)
(logy)² dy = fy' (logy)² dy
=y (logy)²-x+2(logy) dy
=y(logy)²-2/logydy
=y(logy)-2(ylogy-y)+C
=y(logy)2-2ylogy+2y+C

応用問題 2
曲線 y=COS
283
TE
2 と,x軸, y 軸で囲まれた部分をDとす
Dをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ.
精講
回転軸が軸なので、yで積分しなければならないところですが、
xyの式で表すことは難しそうです。そのときは、置換積分でæ
での積分にうまく切り替えてしまえばいいのです.
48
解答
求める体積は
この計算
Snx²dy= x²dy
=π
がしたい
1
0
y=cosr
での積分をェでの積分に置換する.
xy
の式で表
匹2
x²dy
すことが
0
X
置換
y=cosx より
dy
dx
={(0+x+0)-(0+0+2)}
=π
0 dy
x
2 dx
dx
=7√x²(—sinx) dx
-*f*r*sin.rdr
2
Sr'sinrdr
=fr'(-cos.r)' dr
-[-r'cos.r+2rsinz+2cos.r] --'cosr+f2rcos.zdr
=
できない 断面積 TT2
y 20 → 1 13 (1)
π
=-sinx
→0
=-xcosx+2fr(sin.z)'d
=π(π-2)
コメント
本来計算したい式を書き, それを
=-xcosx+2(rsin.x-fsinrdr)
==
ecosx+2xsinx+2cosx+C

積分法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

フラッグ

(3)も、半径をxとしていないわけじゃないです。ただし、右の写真の問題と異なり、xをyの式で表すことが簡単なので、真ん中の写真のように、変数をyに統一して積分計算をしているのです。

れもん

なるほど、回答ありがとうございます✨️！
下のように式を立てて置換しても上手くいかなかったのですが、この式じたい間違えているのでしょうか？🙏
お願いいたします🙇🏻‍♀️

フラッグ

その方針で解いてみたところ、模範解答と答えが一致しました。貴方の答案ってありますか？

れもん

ありがとうございます🙇🏻‍♀️！！！
フラッグさんの解答と見比べてみたところ、範囲を置換するのを忘れていたようです🙏🙏
それ以外は大丈夫そうなので、解き直してみます!!
ありがとうございました！