Question

あ

k.k+1をなぜつかうのですか

288
重要 例 170 数列の和の不等式の証明 (定積分の利用)
00000
log(n+1)<1+
+
2 3
nは2以上の自然数とする。 次の不等式を証明せよ。
1
1
n
.......+ -<logn+1
・基本 165, 169 演習 175
@1
指針 数列の和1+
1/2+1/+
++
3
n
は簡単な式で表されない。 そこで,積分の助けを借
りる。
すなわち, 曲線 y= の下側の面積と階段状の図形の面積を比較して、不
式を証明する。
1
自然数んに対して, k≦x≦k+1
<
解答のとき
1
I
1
k+1
S
x
k
式
k+1 X
常に11/1/2 または 1/12 1/12
x
014
ではないから
0 1 2 3 .../nt
X
ck + 1
2
よって
k
S** dx <S** dx <S** dx
k+1dx
x
k+1 JR
1
k+1
mck+1 dx
ES <
k=1Jk
Aから
XC k=1k
(n+1 Ⓡ
S** dx =S** dx = [logx]*
k=1Jk
x
であるから
x
=log(n+1)
[10gx]+
10g(n+1)<1+1/+1/3
k+1
n-1 n+1
1
k+1
k
0
k
k+1
(k+1dx
1
0
x
k
<
:
☐
Je
1
式イ
Ak=1,2,
として辺々を加える。
0 123... †n
n-1
*n+1
14
+......+
①
n
1
k+19
Ck+1 dx
から
n-1k+1 dx
x
kik+1
JR x
k=1,2,…, カー
として辺々を加える。
14
Sdxdx=[log]=logn T35
+
3
+......+<logn
11
1
この不等式の両辺に1を加えて
1
1+
+
+
n
よって,①,② から, n≧2のとき log (n+1) <1+
1
1
+
2
3
<logn+1
②
1 <logntl
n
217
HIN

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

🍇こつぶ🐡

k.k+1をなぜつかうのですか
＞y＝1/xは単調減少関数であり、ハサミウチを使うため。
与えられている最初の式にlog(n+1)＜logn +1があるから🙇

あ

ありがとうございます