Question

m

なぜn=6k+lとおいたのかと、答えが何とリンクしてこの答えになるのかが分かりません。教えていただけると幸いです。

219 α, β を x-x+1=0 の異なる解とする。 以下の問に答えよ。
1 1
(1)
a B
+ の値を求めよ。
(2) α27 と β27 の値を求めよ。
(3) α+β" (n=1, 2, 3, ...) の値を求めよ。
(三重大)

思考のプロセス
[複素数の高次計算]
(1) Review 211 を参照
223
Q27= (a²)より,まずはαの値を考える。
(2) 次数を下げる
(3)
規則性を見つける
前問の結果の利用
ケ
n=1,2,3, ... と具体的に計算してα" + β" の値の規則性を考え,それを示す。
(1)解と係数の関係により
a+B₁ = a.a³ +B.B
a
e
a+B=1, aẞ = 1
-a I
1 a+B
よって
a
+ =
B
aß
1
n=5のとき
=
-(a+B)=-1
[別解]
α-α+1=0 より
(1)
よって a³ = a a² = a(a-1)
1=α-a=(α-1) -α
(vi)
0 = ($x) 04
= -1
(βも同様。以降同様)
(2)-α+1=0, B2 - β+ 1 = 0 であるから
a + 1 = (a+1)(α-α+1)= 0
β°+1= (β+1)(B2-β+1)=0
==
n=6のとき
よって α' = -1, B3 = -1
(ii)
したがって
Q27
=(23)=(-1)=_
-1
B27=(ρ3)=(-1)=-1
価して
を消
か
as +ẞs = a² a³ + B2 B3
=-(a² + B²) = 1
d°+° = (c3)2 + (B3)2 = 2
n=7のとき
とになる+B' =α·α° + B•°
=α+β=1
自分
大阪
= []
(k は整数, 10, 1, 2, ･･･
ここで,n=6k+1
5) とおくと
an +βn = a6k+1+β6k+t
= a² · (a) * + B² ·(B)
= α² + B²
(3)n=2のとき
a2+B2 = (a+β) -2aβ
に代入
n=3のとき (2) より α3 + 3 = -2
n=4のとき
は実数であるか
220[2次方程式の整数解]
01 (vi)~(i)
したがって
(S)
(
=12-2・1=-1
E
-1
1 (n=6k+1, 6k+5)
(n=6k+2,6k+4 )
a"+8" =
したがって
-2(n=6k+3)
ISS
2 (n=6k)

複素数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

(1)(2)および(3)のn=2,…,7で調べたことにより、
次のことがわかりました

①αⁿ+βⁿはn=1,2,3,…,6に対して
1,-1,-2,-1, 1, 2の各値をとる

②α⁶=1,β⁶=1であることから、
n=7のときはα⁷+β⁷ = α+β
のように、これ以降同じ値を繰り返す（周期性）
たとえばn=7,…,12のときの各値は
n=1,…,6のときの各値に等しい

②について、すべての自然数について示したのが
n=6k+lのくだりです

①②をまとめて答えとしたのが、
最後の部分です

m

ありがとうございます！