Question

Kei

（２）はなんで定義域が実数全体なのか分かりません。勿論ながら連続の判断の仕方も分かりません💦教えてください🙇🙇

STEP B
□ 111 次の関数 f(x)の定義域をいえ。 また, 定義域における連続性について調べよ 1
(1) f(x)=- x2-1
x+1
*(2) f(x)=x-[x]

38-
4STEP数学III
(2)f(x)=x-3-* とおくと, 関数f(x)は区間
[0,1] で連続であり,かつ
f(0)=-1< 0,
(1)=1/30
参考(1),(2)の関数 y=f(x)のグラフはそれぞれ
したがって, 方程式 f(x) = 0 は 0<x<1の範囲
に少なくとも1つの実数解をもつ。
下のようになる。
(1)
(2) yi
2
3
3
0
r
limf(x) = lim(x-n)=a-n
xa
xa
f(a)=a-[a]=a-n
limf(x)=f(a)
したがって
xa
よって、 関数 f(x)はx=n(n は整数)で不
他で連続である。
112 ■指針■
関数f(x) がx=a で定義されたい、もしくは
不連続であるとき, 極限値 limx)が存在
→
れば、この極限値を改めてf(a) と定義すれ
f(x) は x=αで連続となる。
x>0σ
x<0g
[1][2]から,
数xに対して
(x+
f(x)=10
x-
グラフは [図]
なる。
0
1
-3
(1)この関数の定義域は,x-30から
よって、関数f(x)はx=3で定義されない。
また,x = 0
他で連続であ
また, x≠3のとき
114
f(x)=
1111
この関数の定義
yt
| y= f(x)
域は, x2-1≠0から
x3
=x+1
であるから limf(x) = lim(x+1)=4
(x+1)(x-3)
x-3
■■■指
(3) 母
子を n
→ 分
x3
な
x=±1
よって
f(x)=x+1
-1
0
11
x
2
x+1
ゆえに, x=3 で f(x) =4と定めると連続
x0
(2)この関数の定義域は, x| ≠0から
よって, 関数 f(x) は x=0 で定義されない。
また、 x<0 のとき f(x) ===-x^
若
(1)[1] x2<
(x+1)x-1)
よって
=x-1(x=±1)
また, aキ±1 とすると
-x
x3
x>0のとき f(x)==x
[2] x2=1
であるから
lim f(x) = lim (x) = 0
x=1のと
limf(x)=-
1
0-x
x→0
f(a)=-
D+X
a-1'
a-1
lim f(x) = lim x2 = 0
x=-1G
したがって limf(x)=f(a)
x+0
0+←x
したがって
よって, 定義域においてこの関数は連続である。
(2) 定義域は実数全体で
limf(x) = 0
[3] x2 >1
x0
ゆえに、x=0で f(x) = 0 と定めると連続になる。
ある。
整数nについて
(3) n を整数とすると
f(x) =
(1 (x=na)
(xキリポ)
よって
n≦x<n+1のとき
f(x)=x-[x]
=x-n
n-1≦x<nのとき
f(x)=x-[x]
=x-(n-1)
したがって
y=f(x)
1人
8
-1 0 1
2
3 x
lim_f(x) = lim (x-n)
+0
lim
+0
=n-n=0
11(x) = lim x-(n-1)
0
=n-(n-1)=1
よって, limf(x)は存在しない。
エール
また、整数でない実数a(n <a<n+1)について
よって、x=nπ で関数 f(x) は不連続である。
また,x=nπで f(x)=0と定めると連続になる。
113 与えられた無限級数は、初項 公
の無限等比級数である。
[1]
x=0 すなわち初項が0のとき
この無限等比級数は収束し、 その和は0であ
る。すなわち
[2] x≠0のとき
1
00-
f(0) =0
1であるから,この無限等比級数
は収束し、その和は
x
f(x)=-
1-
よって
1
1+|x|
=
*(1+(x)
|x
また, x=
(2) [1] x
よって
[2] |x|=1
x=1の
x=-1
[3] |x|>
よって
ゆえに,

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

(1)の分母≠0のような禁忌がない以上、
xに入れてはいけない実数がないから、
実数全体です

連続は定義通りなので、
まずは教科書とその例題に戻ることが早道です
背伸びして階段を数段駆け上がると失敗します

Kei

理解しました

Kei

すいません！質問です！（２）なんで整数でない実数ａについても言わないといけないんですか？lim f（x）が存在しない➡️不連続。で終わりにしてはいけないんですか？

和

そこで終わったら、整数のところ（x=0,±1,±2,…)
の連続性しか確かめていないじゃないですか

定義域全体での連続性を調べるのだから、
整数以外のところも当然調べます

Kei

なるほど、分かりました！ありがとうございます