数学
高校生
解決済み
青チャート数学III(旧課程)の問題です。
(4)ですが、
この解説の横に書いてある説明がよくわからないです。
an
漸化式 α=√2, an+1=(√2) (n=1, 2, 3, で定まる数列{a} と関数
f(x)=(√2)について
1 0≦xにおけるf'(x)
0≦x≦2 における f'(x) の最大値と最小値を求めよ。
(2) 0<an<2 (n=1, 2, 3, ......) が成立することを,数学的帰納法を用いて示
せ。
その点を
(3) 0<2-an+1<(log2) (2-an) (n=1, 2, 3, .....) が成立することを示せ。
(4) liman を求めよ。
818
[類 同志社大 ]
172
で
2-an-1<(log2)(2-an-2)
(*)
(*) (log2) (2-a)の
の和がnになる。
(4)(3)の結果を利用す
0<2-an<(log2)(2-an-1)<(log 2)²(2-an-2)
<......< (log2)"-1 (2-α1)
1<2<eより, 0 <log2 <1であるから
ゆえに
したがって
lim(log 2)-(2-a₁)=0
81U
lim(2-an)=0
n→∞
liman=2
n→∞
18740-4
(5-2)
← はさみうちの原理。
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