Question

さな

PABQではなく対称点をとったとき最小になるのはなぜですか？

基本 例題 88 最短経路
00
| 鋭角 XOY の内部に, 2定点 A, B が右の図のように与えられX
ている。 半直線 OX, OY 上に, それぞれ点P, Q をとり
AP+PQ+QB を最小にするには,P, Q をそれぞれどのよう
な位置にとればよいか。
994 基本 86
0
P
・A
B
指針 折れ線 APQB の長さの最小問題では, OX に関する点Aの対称点, OY に関する
点Bの対称点を考えて、次の関係を利用する。
•
線分の垂直二等分線上の点は, その端点から等距離にある。
2点間の最短経路は, 2点を結ぶ線分である。
参照。
検討
CHART 折れ線の最小 線分にのばす 対称点をとる
半直線 OX に関して点Aと対称な点を A', 半直線 OY
に関して点Bと対称な点をB' とすると
A'
X
AP=A'P. BQ=B'Q
であるから
2
AP+PQ+QB=A'P+PQ+QB′
P
P
A
B
また,A'P+PQ+QB' が最小になるのは, 4点 A', P,
Q, B' が一直線上にあるときである。
0
Q
B'
したがって, 半直線 OX に関して点Aと対称な点をA',
半直線 OY に関して点Bと対称な点をB'として, 直線
A'B' と半直線 OX との交点を P, 直線 A'B' と半直線
OYとの交点をQ とすればよい。
AC+BA'
2点間の最短経路
08-0
ANO
a
対称