Question

ねこ

（3）（ii）で、黄色マーカーのところで、
・3s^2-2s-3はどこからきたのか
・9s^2+14s+1で割るとわかるのはなぜか
がわかりません。教えてください。

【5】 a b を実数とする。xについての関数f(x)。g(x)を次のように定める.
f(x)=xx-x+α.g(x)=-x+bx+4
x=f(x)は極小値を, g(x)は極大値をもち,これらの値は一致する. 次の問いに
答えよ.
(1) tの値を求めよ.
(2)
a. bの値を求めよ.
(3) 関数h(x) を次のように定める。
「f(x) (x<t のとき)
h(x)=
g(x)(xtのとき)
(i) h(x) の最大値を求めよ.
() 曲線y=h(x) をCとし, Cと異なる2点で接する直線を1とする.Cと1の2
である.
(3)i) (1)のf(x)の増減表より, h(x)はxで増加し、 x < 1 で減
少する. また, 曲線y=g(x)は軸が直線x=1で上に凸の放物線であるか
ら.h(x)はx≧1で減少する. よって、 (x)の増減は下表のようになる.
...
1
h(x)
15
増減表よりh(x)はx=132 のとき最大値
つの接点のx座標を求めよ.
(40点)
考え方
(1) f'(x) を計算し、f(x)の増減を調べましょう.
(2)(1)をもとに,f(x)の極小値を求めましょう。また,g(x)は2次関数ですから,平方完成をしてg(x)の極大値を
求めましょう。g(x) の極大値は微分法を用いて求めることもできます.
(3)i) (1) (2) をもとにh(x) の増減を調べましょう.
(曲線y=f(x)(x<t) 上の点 (s, f(s)) における接線が曲線y=g(x) (x≧t)に接する条件を考えましょう。曲線
y=f(x) (x<t) 上の点 (s, f(s)) における接線が,y=g(x)(x≧t)上の点(u, g(u)) における接線と一致すること
を利用する方法もあります。
解答】
f(x)=xx-x+α より
f'(x) = 3x²-2x-1=(3x+1)(x-1)
なるので, f(x) の増減は下表のようになる.
1
x
....
.... 1
...
f'(x) +
0
0 +
f(x)
7
って, f(x) はx=1で極小値をもつので
る.
t=1
より, f(x) の極小値は
f(1)=1'-1'-1+a=a-1
3. また
(x)=(x-2/28)2 +12+4
(答)
(1/3)=(-1)-(1)-(3)-(-1)+6
-1-3+9+162-167
をとる.
( Cは下図のようになる。
y=f(x)
(8, f(s))
y = g(x)
u
(uif(w)
...... (答)
三択問題
6.2のとき。 a-1と
+4の値はともに5である.
4
xにつ
+2
(x)
N
for
=
f(s)=35-28-1
この接線は(vif(a))も通る。
y=(3s2-2s-1)(x-s) + s-s-s+ 6
図より Cとはx=s, u(s<1<u) で接するとしてよい.s<1より, I
の方程式は
y=f(s)(x-s)+f(s) (8,ρ(よ))における接線の方程式
より(8,t(s)の傾き
Cのx <1の部分はy=f(x) で
表されるので,y=f(x)のグラ
フの接線を求めている
すなわち
y=(3s2-2s-1)x - 2s + s' + 6
である. よって, C と1がx=u (u> 1) で接する条件は,x>1のとき
h(x)=g(x) であることに注意すると
(3s2-2s-1)x-2s' + s' + 6 = x + 2x + 4
g(x)
x2+ (3s2-2s-3)x - 2s' + s + 2 = 0
が重解をもつことである. このとき
←
・接線と(2)の接点は
いてある。
………….. ①
g()と(352-25-32-4(-2s'+s°+2)=0←①の判別式をDとするとD-O「①が重解をもつ①の判
「別式が0である」ことと、 ① が
重解をもつとき、その解は
3s22s-3
u = -
2
すなわち
金額をもつときax+bx+c=0の2解をdBdXB (35-25-3)
=
b
2-1
x+B=
a+d=-
であることを用いた、
(x)はx=
11/10で極大値+4をもつよって
曲線y=g(x) は上に凸の放物線
であるから, g(x) は頂点におい
極大となる.
すなわち
解説 1° (別解)
=1
b2
+4=a-1
4
a=6,b=2
-②数 17-
......(答)
201=
②数 18-

.....2
9s-4sa-18s2 + 12s + 1 = 0
u =
3s22s-3
2
である. ②は左辺を因数分解すると
S-D9+5-13-1-0
5-19-4-184121=0......3
98±48218gtps+1=0
(S-1)(93+58-135-1)=0
(s-1) (9s2+14s + 1) = 0
となるので
(5-1)(95+14541-
20
S=11-9
s=1,
-7±2/10
9
である. このうちs < 1を満たすものは
-7±2/√10
S=
9
である.ここ
3s2s-3 を 9s2 + 14s+1で割ると,商が... 余りが
-20s-10 となるので
3
3s2-2s-3= 1/12 (9s2+14s+1)-
20
10
-S-
3
3
のこる
が成り立つ. よって, s =
-7+2/10
のとき, ③
④ より
9
20
10
3s2-2s-3
u
2
-S-
3
10
s +
2
-10 -7 +2/10 +5
9
-25+20/10 (>1)
3
27
-7-2/10
であり,これはu > 1 を満たす. 同様に, s =
のとき
9
3s-2-3-10-7-2/10 +5
u=-
2
9
3
-25-20/10
(<1)
27
であるが,これはu>1を満たさない.
Cと1の2つの接点のx座標は s, u, すなわち
-7+2/10
-25+20/10
27
9
である.
解説
9-4-18125LL
9
5-13-
95-13-10
★②の左辺にs=1を代入すると
0になるので,②の左辺は s-1
で割り切れて,商は
9s3+5s2-13s-1である.さら
に 9s" + 55° - 13s-1 に s = 1を
代入するとになるので、
95+5s2-13s-1はs-1で割
り切れて,商は9s2 + 14s + 1 で、
よって,
をとる
2° (3Xi
(別解
C
点(
にお
より
ある.
-クエ2110
S=
を
9
140
す
に代入すると
-7±2/10
■S=
9
のとき.
| 9s2 + 14s + 1 = 0 であるから、
④より
3s2-2s-3-235-10
である.
√10 >√9=3より
3
で
1° g(x) の極大値を求めるのに, 【解答】 では平方完成を用いて求めたが,微
分法を用いて次のように求めることもできる.
(別解)
g(x)=-x2+bx+4より
g'(x)=-2x+b
であるから,g(x) の増減は下表のようになる.
X
g'(x) +
g(x) 7
b
62
0
-25+20/10
-25+20.3
>
27
27
35
3
>1
である.
解説 2° (別解)