Question

るな

数Ⅲの無限級数の問題です
解き方がわからないのでわかる方教えていただけますか？
答えが
xの範囲 1-√5/2<x<1+√5/2で、和 x/x^2-x+1 です
よろしくお願いします🙇‍♀️

1. 次の無限級数が収束するようなxの範囲を求
めなさい。 またそのときの和を求めなさい。
(1) x+x2(1-x)+x3(1-x)2 +... +x" (1-x)" -1 +・・・
+...+x"

数ⅲ 無限級数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

数列の初項はx、公比はx(1-x)です。

①x=0のときS＝0、x＝1のときS＝1
②x≠0,1のとき、和が収束する条件は
-1＜x(1-x)＜1
→　-1<x(1-x)　と　x(1-x)＜1
→　x²-x-1＜0　と　x²-x+1＞0
→　x＝(1±√5)/2　と　x＝(1±√3i)/2
→　(1-√5)/2<x<(1+√5)/2

このとき、
S＝x/{1-x(1-x)}
　＝x/(x²-x+1)

るな

わかりやすいご回答ありがとうございます！！
理解することができました！
とても助かります🙇‍♀️