Question

ぱそこん

等号成立条件の求め方が分かりません。
手順も一緒に知りたいです

演習 32
x+2y+3z=21 のとき, 4x2+y2+9z2 の最小値を求めよ。
解答 コーシー・シュワルツの不等式により
{(2x)²+ y²+(32)³) (+)*+2²+1³) ≥ (x+2y+32)
M
.
(4x2+y+924) 4212 ∵ x+2y+3z=21)
: 4x2+y2+9z2≧84
この等号は2x:y:3z=- 12 :2:1 つまり(x,y,z)=(1,8,133) のときに成
立する。 よって、求める最小値は 84である。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

この場合、わからなければ
「コーシー・シュワルツの不等式」
で調べることができます
その上でわからない場合、その旨を説明して、
引用して、どこがどうわからない、と聞いてほしいです

(a²+b²+c²)(s²+t²+u²)≧(as+bt+cu)²
の等号成立はa:b:c=s:t:uのときです
a,b,c,s,t,uは今回それぞれ2x,y,3z,1/2,2,1です

なぜこれが成り立つか、
その理由こそ、検索したページに詳しく載っています

ぱそこん

インターネットで調べて、YouTubeで調べてもよく分からなかったから質問しました。等号成立条件は知っています。この問題でどのような操作をすれば(x,y,z)=(1,8,4/3)という答えがでて来るのかが知りたいです。

和

(a²+b²+c²)(s²+t²+u²)≧(as+bt+cu)²が頭の中にあります

4x²+y²+9z²の最小値を求めたい、つまり
4x²+y²+9z²≧(定数)という不等式を導きたい、
という目的があります

x+2y+3z=21(定数)という条件も使えます

(a²+b²+c²)(s²+t²+u²)≧(as+bt+cu)²
において、4x²+y²+9z²をつくりたいので
a=2x, b=y, c=3zにしてみます

( (2x)²+y²+(3z)² )(s²+t²+u²)≧(2xs+yt+3zu)²
条件x+2y+3z=21(定数)を使いたいので、右辺をよく見て
s=1/2, t=2, u=1とします

( (2x)²+y²+(3z)² )((1/2)²+2²+1²)≧(x+2y+3z)²……①
( (2x)²+y²+(3z)² )(21/4)≧21²
(2x)²+y²+(3z)²≧84

これでうまくいくので、①から答案に清書します
で、等号成立は2x:y:3z = (1/2):2:1です
たとえば右辺がすべて2(つまり2:2:2)になるように、
両辺とも順に4倍、そのまま、2倍すると
8x:y:6z = 2:2:2
つまり8x=y=6zです
これは、たとえばy=8xとz=(4/3)xのように表せます

もともとの条件式x+2y+3z=21も踏まえます
これにy=8xとz=(4/3)xを代入してy,zを消すと
x+16x+4x=21 ∴x=1
よってy=8, z=4/3とわかります

ぱそこん

ありがとうございます