Question

匿名Yさん

高校数学、写真の問題です。
双曲線と接線の問題で、中点のx座標を求めるところまではわかるのですが、なぜy座標は求めないでいいのでしょうか……？
わかる方教えていただけるとありがたいです。

10 xy 平面上に双曲線_y
-=1があります。 双曲線上の点
4 16
P(a, b) における接線と, 双曲線の2つの漸近線との交点
をそれぞれQ,Rとするとき,Pは線分 QR の中点である
ことを示しなさい。

10 与えられた双曲線をCとする。
Cは, 2点(2,0), (-2,0)
を頂点とし,2直線y=±2xを漸
近線とする双曲線である。
PC上にあるので
62
a²-06-19 (0.0) 3
4
11
4a2-b2=16①塩
解説
1
(1)
P,Q,R はともに上の点であ
るから,これよりPは線分 QR の
中点であることが示された。
PにおけるCの接線をl とする
と方程式は
ax-
=2y=4.1/12yより,放物線の軸は
y軸であり,焦点は点 (01/12),準線
は直線y=-
1/1
by
2
-=1
4
16
=8809
中心答え
4ax-by-16 ...2
焦点の座標… (01/12)
inke
直準線の方程式 … y=-
2
②y=2x を代入すると
4ax-2bx=16
(2a-b)x=8ns
ここで,2a-b=0 すなわち,
b=2a と仮定すると,Pが漸近線
上にないことに反する。
よって, 2a-b≠0 としてよく、
lと漸近線y=2xとの交点のx座
8
2a-b
標は,g=-
とする。
(2) AP+BP= (定数) より 点Pの軌跡は,
y2
楕円-
2
+ =1(b>a>0)である。
a²
2焦点がy軸上の点より
B√b²-a²=√3, 26=4
これより, a=1, 6=2であるから
求める軌跡は,楕円+=1である。
y2
+
4
となる。これを
答え 楕円x²+
曲
y²
4
-=1
(3) 双曲線の式は -
xy'
32
22
=-1と表され
るので
-6miz a =
√3°+2=√13
E+
②にy=-2x を代入したときに
ついても同様に考えると, l と漸
近線y=-2xとの交点のx座標は,
8
X=7 となる。これを x2 とする。
2a+b
①に注意して,線分 QR の中点
の座標は
JOUSH SA
8
8
2
=1220-6+2a+b)
=4.(2a+b)+(2a-b
4a²-b2
4.4a EVE
となることと, 2焦点は軸上の点
その座標, (0, √13)
また,漸近線の方程式は,y=±
答え
焦点の座標･･･
(0, √13), (0, -√1
漸近線の方程式･･･
2
y=3x,
x,y=-
16
=α ( = (Pのx座標))
HO

平面上の曲線 双曲線 接線

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

3点P,Q,Rが同一直線上にある、
という前提も加わっているので、
(Qのx座標+Rのx座標)/2 = Pのx座標
であれば、
PはQRの中点であるといえます

これはかなり感覚的にもそうだと思えることだと思います
少しちゃんと考えると以下です

たとえば、Qを通ってx軸に平行な直線、
Rを通ってy軸に平行な直線を引き、
Pを通ってx軸に垂直な直線を引けば、
できた直角三角形2つは相似で、相似比は1:2です
ここからPが中点といえます

匿名Yさん

x軸に影を落として考えると、同一線上にあり、QP=PRが成り立つならPはQRの中点という認識で合っていますか？説明下手ですみません。

和

そうですね、言っていることに間違いはありません

匿名Yさん

ありがとうございました！とてもよく理解できました！