はい、了解しました。140番の問題について解説します。
140番
等間隔に置かれた直線上の点
点AからKまで等間隔に置かれた直線上にある点が与えられています。このとき、線分AKを3:2に内分する点、線分FGを3:4に外分する点、線分DFを5:3に外分する点がA~Kのどの点であるかを答える問題です。
(1) 線分AKを3:2に内分する点
線分AKを3:2に内分する点は、Aから数えて3/5の位置にある点です。
具体的には、Aから3つ目の点、つまりDとなります。
(2) 線分FGを3:4に外分する点
線分FGを3:4に外分する点は、Fから数えて3/1の位置、またはGから数えて4/1の位置にある点です。
この場合、FからG方向と逆方向に3つ目の点、つまりCとなります。
(3) 線分DFを5:3に外分する点
線分DFを5:3に外分する点は、Dから数えて5/2の位置、またはFから数えて3/2の位置にある点です。
この場合、DからF方向と逆方向に5つ目の点、つまりIとなります。
ポイント
内分点: 線分をある比率に分割する点
外分点: 線分をある比率に分割する点を線分の外側にとる点
考え方
線分ABをm:nに内分する点Pは、AからB方向にm/(m+n)だけ進んだ点
線分ABをm:nに外分する点Pは、AからB方向または逆方向にm/|m-n|だけ進んだ点
この問題では、等間隔に置かれた点を利用することで、具体的な点の位置を簡単に求めることができました。
143番
三角形の重心
△ABCの重心が点Gであるとき、xとyの値を求める問題です。
重心の座標
三角形の重心は、各頂点の座標の平均値として求められます。
つまり、△ABCの重心Gの座標は、
x座標: (Aのx座標 + Bのx座標 + Cのx座標)/3
y座標: (Aのy座標 + Bのy座標 + Cのy座標)/3
となります。
計算
問題より、点Gの座標は(4, 5)です。また、点A, B, Cの座標はそれぞれ(1, 2), (2, 1), (x, y)です。
したがって、
4 = (1 + 2 + x)/3
5 = (2 + 1 + y)/3
これらの式を解くと、
x = 9
y = 12
答え
x = 9, y = 12
