Question

ねこ

（3）で、
・なぜ-2<a<6で終わりではなく、接線の傾きが2より大きいときと小さいときにわけているのか
・なぜ-1<t<1の範囲で共有点が２つなのか
がわかりません。教えてください。

B6 関数 f(x)=x-xがあり、座標平面上で y=f(x) のグラフをCとする。
f'(x)=32²-1
(1)f'(x) を求めよ。また,不等式f'(x) >2を満たすxの値の範囲を求めよ。 f(x)>2x1
(2) C上の点P (t, f (t)) におけるCの接線をℓとする。 lの方程式をを用いて表せ。 また、
lが点 (2,2)を通るとき, tの値を求めよ。た=0.3.
l:y=(3-1)-20
αは定数とする。 点 (2, α) を通るCの接線が3本存在するようなαの値の範囲を求め
よ。またこの3本の接線のうち, 1本は傾きが2より大きく、残り2本は傾きが2より
小さくなるようなαの値の範囲を求めよ。
(配点 20 )
のと

A
B
B
(i), (日)より求めるの値は
k=-2, -1
圈 k=-2,-1|
完答への 方程式①を2つの方程式 ② ③に分けることができた。
道のり
B 方程式 ② から costをkを用いて表すことができた。
t = 0,3
© 方程式 ① がちょうど3個の解をもつ条件を、
それぞれの条件を満たすkの値を求めることができた。
方程式の解の条件としてすべて考えること
完答への
道のり
条件を満たすの値を求めることができた。
(3)
圈 y= (3-1)x21, t=0,3
A 接線の公式を用いて. 接線の方程式を求めることができた。
B tの方程式を立てることができた。
© の値を求めることができた。
(2)の接線lが点 (2,α) を通るとき
a=2(312-1)-21³
-2 (1-312+1)=a
A
..........①
B6
微分法 (20点)
関数f(x)=xx があり、座標平面上でy=f(x) のグラフをCとする。
B_
3次関数のグラフでは, 接点が異なると接線も異なるから, 点 (2,α) を通
る接線が3本存在する条件は, tの3次方程式 ①が異なる3つの実数解をも
つことである。すなわち, y=-2-3 +1) のグラフと直線 y=a が 3
つの共有点をもつようなαの値の範囲を求めればよい。
(1) f(x) を求めよ。また、不等式f(x)>2を満たすxの値の範囲を求めよ。
(2) C上の点P(t.f(t)) におけるCの接線を!とするlの方程式をtを用いて表せ。 また、
が点 (2,2)を通るときの値を求めよ。
(3)は定数とする。 点 (2,g) を通るCの接線が3本存在するようなαの値の範囲を求め
ここで,g(t)=-231) とすると
g'(t)=-2 (312-6t)
=-6t(t-2)
g' (t) = 0 とすると, t=0.2であるから, 関数 g (t) の増減表は次のよう
になる。
f(x)
する。
$37
2
よ。また、この3本の接線のうち、1本は傾きが2より大きく, 残り2本は傾きが2より
©D
小さくなるようなの値の範囲を求めよ。
配点 (1) 4点 (2) 8点(3)8点
t
...
0
...
2
g'(t) -
0
+
0
6F---
y=g(t)
g(t) V -2
6
よって, y=g(t) のグラフは右の図のように
なるから, 求めるαの値の範囲は
y=a
A
解答
(1)
f(x)=xx より
f'(x) =3x-1
よって、f'(x)>2 より
O
-2<a<6
また、接線の傾きが2より大きいとき、f'(t) > 2
(2)
で (1)より
2
t
[□
t<-1,1<t
(x)=3x2(x)=2x(x)=
3x²-1>2
(c) = 0 (cは定数)
また、接線の傾きが2より小さいとき,f'(t) <2
より
ay
-6
3t2-1<2
(x+1)(x-1)0
y=g(t)
x<-1, 1<x
α <β のとき,2次不等式
(2)
完答への
道のり
圏 f'(x) = 3x²-1;x<-1, 1 <x
Af'(x) を求めることができた。
③ f (x) > 2 を満たすxの値の範囲を求めることができた。
(1)より、点Pにおける接線の傾きは3f-1であるから, 接線の方程式は
y-(t-t) (3-1)(x-t)
y= (31²-1)x-21³
また、接線lが点 (2,2)を通るとき
-2=2(31²-1)-213
213-61² = 0
t²(t-3)=0
x <α,B<x
接線の方程式
GD
曲線 y=f(x) 上の点(a, fla
おける接線の方程式は
y-f(a)=f'(a)(x-a)
y=f(x)のグラフが点(a,b)を
f(a) = b
(xa)(x-β)>0 の解は
(t+1) (t-1) < 0
-1 <t < 1
したがって,y=g(t) のグラフと直線 y=a
がt <-11 <t の範囲において共有点を1つ
1 <t<1 の範囲において共有点を2つもつ
ようなαの値の範囲を求めればよい。 y=g(t)
このグラフは右の図のようになるから 求めるα
の値の範囲は
-10
1
-2<a<2
闇 (順に)-2<a<6, -2<a<2
-46-
-47-
αの値は極大値6と極小値-2の
間にある。
y=a
t軸に平行な直線 y=a と y=g(t)
のグラフが3点で交わり、 そのうち
の2点が1<<1の範囲にあり、
1点がt<-11 <t の範囲にあれ
ばよい。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

(3)の前半（接線が3本存在する条件）は、
-2<a<6が出た時点で終わっています
その次の行は、(3)の後半の問いに移っています

(3)の後半は図に描きました