Question

み

⑴の数学的帰納法の質問なのですが、どうしてn＝2の場合も確認しないといけないのですか。n＝1の時とn＝K（>＝1）の時だけで場合わけをしてはいけないのはなぜですか。

2nを自然数とする。このとき,次の問いに答えよ。
n
(1) すべてのnに対して、不等式 n< (22)が成り立つことを示せ。
最頂を求めよ。
n
3
(2) lim n
N18
5
= 0 が成り立つことを示せ。
(3) すべてのnに対して、不等式
n(n+1)
2
<3
n
(4)limn (23)=0が成り立つことを示せ。
5
n
-3が成り立つことを示せ。

2
解答 (1) すべての自然数nに対して
不等式(12)
......(*) が成り立つことを数学的帰納法で示す。
(i)n=1のとき
(左辺) =1, (右辺)=
3 \1 3
=
2
よって, n=1のとき(*)は成り立つ。
(ii) n=2のとき
(左辺)=2.(右辺)=(23)
9
= =2-
4
8
よって, n=2のとき(*)は成り立つ。
0<
3\
n=k(≧2) のとき,<
......① が成り立つと仮定する。
Jei
3 k+1
n=k+1のとき,k+1< < ( 2 ) **1 が成り立つことを示す。
2
-
2
333*
( 3 ) * * 1 = (k + 1) ==
-k-1
2 2
3
2
よって、 (2/2)^
3 \k+1
立つ。
> k-k-1 (∵ ①)
=k-10(k≧2)
(
E
>k+1が成り立つから, n=k+1のときも(*)は成り
=
n
(i)~)より、すべての自然数nに対して、不等式n< (2) " は成り立つ。
(証明終)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

実際、n=1のときの成立の確認と
n=k(k=1,2,3,…)のときの成立の仮定から
n=k+1のときの成立はいえないじゃないですか
(1/2)k-1が0以上、とはいえません
これがいえるのはn≧2のときだけです
だから、n=1のときは別に確認することになります