Question

あ

この問題の
α>1かつβ>1←→(α-1)+(β-1)>0かつ(α-1)(β-1)>0となるのはなぜですか。
教えてください。お願いいたします。

例題 11 2次方程式 x2+2mx+6-m=0が,1より大きい異なる2つの解を
指針
もつように,定数の値の範囲を定めよ。
2つの解をα β とすると,α, βと1との大小について
α>1 かつβ>1⇔ (α-1)+(B-1)>0 かつ (α-1)(8-1)>0
解答 2次方程式 x2+2mx+6-m=0の判別式をD, 2つの解をα β とする。
この2次方程式が異なる2つの実数解をもつための必要十分条件は
D>0
801
ここで
1/2=m²(6-m)=(m+3)(m-2)
よって
(m+3)(m-2)>0
ゆえに
m<-3,2<m ..... ①
また,α>1 かつ β>1であるための必要十分条件は
201
(a-1)+(β-1)>0 かつ (α-1) (B-1)>0
すなわち α+β-2>0 かつ aβ-(a+β ) +1 > 0
ここで,解と係数の関係により, α+β=-2m, af=6-m であるから
2m-2>0 かつ 6-m-(-2m)+1>0
103 よって
m<-1 かつ
①と②の共通範囲を求めて
>-7
すなわち -7<m<-1
*****Y
②
-7<m<-3 答
✓ 116 2次方程式 x2+2mx+2m²-50 が,次のような異なる2つの解をもつよ
うに, 定数 m の値の範囲を定めよ。
(1)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

事実として知っておいてください
　α-1>0かつβ-1>0
　⇔ (α-1)+(β+1)>0かつ(α-1)(β-1)>0

証明したければ↓

α-1=A, β-1=Bとでもおいて、
　A>0かつB>0 ⇔ A+B>0かつAB>0
を示せばOKですね

☆A>0かつB>0 ⇒ A+B>0かつAB>0の証明
これは明らかかと思います
正の数2つは、足しても掛けても正です

☆A+B>0かつAB>0 ⇒ A>0かつB>0の証明
AとBは掛けて正なので、AとBは同符号です
足して正なので、AとBはともに正です

思ったより難しくはないですね

あ

丁寧にわかりやすく証明していただきありがとうございます！ほんとに助かりました！難しくなくて良かったです。覚えておきます！

Answer 2

SAIZIN

αもβも1より大きいのでα-1とβ-1はどっちも0より大きいですよね？
0より大きいもの同士を足しても掛けても、当然0より大きいので左から右は成り立ちますね。

次に右から左ですが、(α-1)(β-1)>0つまりは掛けて0より大きいのでどっちも負かどっちも正のどちらかです。しかし足しても0より大きいのでどっちも正だと決まります。
つまりα-1>0かつβ-1>0なので、これで右から左も成り立ちました。

あ

ありがとうございます！