Question

みう

答えの導き出す方法を分かりやすく説明してほしいです>_<

不等式 √a2+b2slal+16/≦√2√a +62 を証明せよ。

不等式 不等式の証明 証明 数ii

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ya08

(i)√a²+b²≦|a|+|b|を証明する
√a²+b²≧0,|a|+|b|≧0…①
(右辺)²-(左辺)²
=(|a|+|b|)²-(√a²+b²)²
=|a|²+2|a||b|+|b|²-(a²+b²)
=a²+2|ab|+b²-a²-b²
=2|ab|≧0
∴(√a²+b²)²≦(|a|+|b|)²
①より、√a²+b²≦|a|+|b|…②
また、統合が成り立つ時は、ab=0なので、
a=b=0または、aとbどちらかが0の時。

(ii)|a|+|b|≦√2√a²+b²を証明する
|a|+|b|≧0,√2√a²+b²≧0…③
(右辺)²-(左辺)²
=(√2√a²+b²)²-(|a|+|b|)²
=｛2(a²+b²)｝-(|a|²+2|a||b|+|b|²)
=(2a²+2b²)-(a²+2|ab|+b²)
=2a²+2b²-a²-2|ab|-b²
=a²-2|ab|+b²
=(|a|-|b|)²≧0
∴(|a|+|b|)²≦(√2√a²+b²)²
③より、|a|+|b|≦√2√a²+b²…④
また、統合が成り立つ時は、
|a|=|b|つまり、a=±bの時。

②④より、√a²+b²≦|a|+|b|≦√2√a²+b²

みう

3行目のは右辺-左辺ではなく、右辺二乗-左辺二乗なのですか？

ya08

ルート。絶対値の場合は二乗します

みう

ありがとうございます>_<