Question

Mikuro

ワークに載っている例題なのですが、何をやっているのかがそもそもわかりません。
順を追って説明していただけると嬉しいです。
また、丸で囲んでいる√の部分が何故出てくるのかわかりません。母比率であっているかもイマイチです。
よろしくお願いします🙇‍♀️

k
CONNECT 15 標本比率と正規分布
期待値
(母平均)
全国の有権者の内閣支持率が50%であるとき, 無作為抽出した 2500 人の有権
者の内閣支持率をR とする。 R が 48% 以上 52%以下である確率を求めよ。
標準正規分布 N (0, 1) に従う確率変数 Zを求める。 標本の大きさが十分大きい
ときは、標本比率Rは母比率に近いとみなしてよいことに注意する。
解答 母比率は
p=0.5
母化率
標本の大きさは 2500 であるからE(R)=p=0.5,6(R)=1
0.5(1-0.5)
=0.01
2500
よって, Z=-
R-0.5
0.01
は近似的に標準正規分布 N(0,1)に従う。
したがって P(0.48≦R≦0.52)=P(−2≦Z2)=2p(2)=2×0.4772=0.9544

数b 正規分布

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

rain

私もこの範囲は苦手なので、説明においてわかりにくい部分があると思いますが、その際は質問していただけますと助かります<(_ _)>
まず、問題についてですが、母集団(この場合は全国)の支持する比率に関して50%と言われています。そのため、その集団から1部を無作為に取り出した標本集団の場合も、同様に支持する人の比率が理論上50%になるはずです。しかし、実際行うと標本の取り方によって偏りが出ると思います。そこで、誤差2%(48～52%)までを許容範囲として、取り出した標本集団の支持率がおおよそ50%である確率を求めよう！という意図です。
次に解法についてですが、支持率Rに関する確率密度関数は連続で、標本数nがとても大きいため、R=0.5(50%)のところが山の頂点で左右対称の形ができると思います。極端な話、確率密度関数を(0.48<=R<=0.52)の区間で積分して解いた面積がそのまま解答になります。しかし、この問題文から確率密度関数の形(式)を決定して解くというのは、おそらく不可能です。そのため、「形が似た確率密度関数」を用いて「近似的に解く」ことを行おうとするわけです。この時、正規分布の確率密度関数に似ているのですが、これは期待値や分散の値に依るため、検定ごとに表が必要になってしまいます。そこで、標準正規分布の形に変形することで、期待値=0、分散=1という決まった値になるためひとつの正規分布表を用いて解くことができます。したがって、「標準化という作業を行って、標準正規分布の分布表を使用できるようにする」作業を行い、問題を解いていきます。

rain

長くなってしまった為、分けさせて頂きました<(_ _)>
最後に解く過程について、質問者様の「なぜ√なのか」という問については、「標準化をする際に標準偏差で割るために、標準偏差を求めているから」というのが答えです。また、「母比率」ではなく「標本比率の標準偏差」というのが正しいと思います。用語整理として、σ : 標準偏差 です。
拙い文だけに長くなってしまいました💦 申し訳ないです。。。