Question

Aya

(3)がわかりません。k=4lの4はどこから出てきたのですか？

15 2019年度 文系〔2〕・理系〔4〕
次のように 1,3,4を繰り返し並べて得られる数列を {a} とする。
1,3,4, 1, 3, 4, 1, 3, 4,
Level B
すなわち, a1= 1, a2=3, 43=4で,4以上の自然数nに対し, am=am-3 とする。こ
の数列の初項から第n項までの和をSとする。 以下の間に答えよ。
(1) Sm を求めよ。
(2)S=2019となる自然数nは存在しないことを示せ。
(3) どのような自然数kに対しても, S=kとなる自然数nが存在することを示せ。

•k=4l (l=1, 2, 3, ...) のとき
k2=(41)=8(22)
であるので
m=212 とおけば,(1)より, n=3mのとき
S=S3m=8m=8 (212) =k2
•k=4l+1 (Z=0, 1, 2, ... のとき
k2=(4+1)=1672+81+1=8 (212+1) +1
であるので
m=2l2+1とおけば, (1) より, n=3m+1のとき
Sn=S3m+1=8m+1=8(212+1) + 1 = k2
•k=4l+2(Z= 0, 1, 2, ･･･) のとき
k2=(4Z+2)2=167 + 16Z+4=8 (22+2l) +4
であるので
m=2l2+21とおけば, (1) より, n=3m+2のとき
S=S3m+2=8m+4=8(212+2l) + 4 =k2
•k=41+3(Z=0, 1, 2,... のとき
k2= (4Z+3)2=1672 + 24/+9=8(212 +3 + 1) + 1
であるので
m=212+3l+1とおけば、(1)より, n=3m+1のとき
S=S3m+1=8m+1=8 (212+3+1) + 1 =k2
以上より,どのような自然数に対しても,S,=kとなる自然数nが存在する。
(証明終)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

前の問題は大体後の問題のヒントです
前問の答え等がないと、こちらもゼロからなので大変です

(1)から、Sₙはnによらず、必ず8で割って0か1か4余ります
これ以外はありません
（確かに1,4,8, 9,12,16, 17,20,24, 25,……みなそうです）

(3)平方数1,4,9,16,25,……は必ず(Sₙ)のリストに入っている
ことを示す問題です
つまり、平方数k²が、必ず「8で割って0か1か4余る数」
であることを示せばOKです

ここまで翻訳すると、教科書レベルです
（「n²を4で割ったときの余りは0か1であることを示せ」みたいな）

kを8で割った余りで8通りに場合分けすればよく、
lを自然数として
①k=8lのとき、k²=64l²=8×(8l²)で、
8l²は自然数なのでk²は8で割って0余る数
②k=8l+1のとき、k²=……
③k=8l+2のとき、……
……
⑧k=8l+7のとき、……
とやればできます

8回は面倒なので、もう少し工夫をすると、
実はkを4で割った余りで4通りに場合分けすればよいのです

lを自然数として
①k=4lのとき、k²=16l²=8×(2l²)で、
2l²は自然数なのでk²は8で割って0余る数
……
④k=4l+3のとき、……
で終わりです

k=4l+○の形であっても、2乗することで
k²=16l²+8l○+○²となり、8が出てくることから、
これでもよいわけです
類問を経験していれば、そういう発想は生まれます

Aya

「前の問題は大体後のヒント」
そうですね！教えていただく立場として、配慮に欠けていました…。
次回からは前問までの答えも添付するようにします！
本当にありがとうございました🙇‍♀️