Question

星光

次の問題で青線の様な変形をしていかないと答えに辿り着かないのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

245 α = 0, k = 0 とする。 曲線 C:y = xkx と, 曲線 C上の点(α, a-ak) における接線lで
-αであることを示せ。
27
囲まれる部分の面積は
f(x)=x-kx とおくと f'(x) =3x-k
f' (a) =3d-kより, 接線の方程式は
y-(a-ak) = (3a-k)(x-a) すなわち
よって, 曲線と接線の共有点のx座標は
x³ — kx = (3a² — k) x — 2a³
k>0
y▲ y=f(x)|
y=(3d-k)x-2y=f(x) 上の点
0 a
-2a
<0
YA
(t, f (t)) における接線の
方程式は
y-f(t)=f'(t)(x-t)
「曲線C と直線 l は x = a
で接するからこの方程式
は x = αを重解にもつ。
lk > 0 の場合とん<0 の
場合で y=f(x) とx軸
の交点が異なる。
「図ではa>0 の場合の
みを表示してあるが,
a < 0 であっても求める
面積Sは変わらない。
x3-3a2x+2a3 = 0
(xa)(x+2a)=0
よって x=-2a, a
右のグラフより, 求める面積S は
S = √,„^{(x²³ — kx) — (3a² — k)x+2a³}dx
-2a
a
= L" (x² - 3a²x+2a³)dx
-2a
a
=(x-a)(x+2a)dx
=
=
=
-2a
a
24
a
-2a
(x-a)(x-a+3a)dx
{(x-a)+3a(x-a)}dx
= [ — — — ( x − a )² + a ( x − a ) ³] ₂
-27
-2a
-2a
y=f(x)
4
x
AR
-2a
S =
{(3a² — k)x−2a³
-(x³-kx)}dx
-2e
==
(x³-3a²x+2a³)dx
0
=(x-3a'x +2a)dx
-2a

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

青線のようにしないといけないわけではありませんが、
展開してしまうとかなり複雑になってしまいそうです

この辺のテクニックは押さえた方がいいかと
個人的には思います
割と使う機会はあります
1/6公式などもこの辺を活用すると早く示せます

星光

なるほど🧐有り難う御座います！